以下是判断级数sum_(n=1)^infty(sqrt(n+1)-sqrt(n))收敛性的步骤，请选出正确步骤[ ]。a.S_(n)=(sqrt(2)-1)+(sqrt(3)-sqrt(2))+(sqrt(4)-sqrt(3))+...+(sqrt(n+1)-sqrt(n))=sqrt(n+1)-1b.lim_(ntoinfty)S_(n)=lim_(ntoinfty)(sqrt(n+1)-1)=+inftyc.lim_(ntoinfty)S_(n)=lim_(ntoinfty)(sqrt(n+1)-1)=0d.sum_(n=1)^infty(sqrt(n+1)-sqrt(n))收敛e.sum_(n=1)^infty(sqrt(n+1)-sqrt(n))发散A a-b-dB a-b-eC a-c-dD a-c-e
题目解答
答案
为了判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$的收敛性，我们需要分析级数的部分和，然后确定当$n$趋于无穷大时，这些部分和的极限。
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找到部分和$S_n$:
级数的部分和$S_n$由下式给出：
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$
这是一个可缩并级数，其中大部分项相互抵消。写出前几项，我们得到：
$S_n = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$
所有中间项都抵消了，留下：
$S_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1$
因此，部分和是：
$S_n = \sqrt{n+1} - 1$
这对应于步骤a。 -
找到当$n$趋于无穷大时，部分和的极限：
为了确定级数的收敛性，我们需要找到当$n$趋于无穷大时，$S_n$的极限：
$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - 1)$
由于$\sqrt{n+1}$随着$n$趋于无穷大而趋于无穷大，我们有：
$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - 1) = \infty$
因此，部分和的极限是$\infty$，这意味着级数发散。这对应于步骤b。 -
得出结论：
由于部分和的极限是$\infty$，级数$\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$发散。因此，正确的步骤是a，b和e。
正确选项是$\boxed{B}$。
解析
本题考查级数收敛性的判断，解题思路是先求出级数的部分和$S_n$，再求部分和$S_n$当$n$趋于无穷大时的极限，最后根据极限值判断级数的收敛性。
- 求级数的部分和$S_n$：
已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$，其部分和$S_n$为：
$S_n=\sum_{k = 1}^{n}(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k})$
将其展开可得：
$S_n = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$
可以发现中间项都可以相互抵消，最终得到：
$S_n = \sqrt{n + 1} - 1$
这与步骤a一致。 - 求部分和$S_n$当$n$趋于无穷大时的极限：
计算$\lim_{n \to \infty}S_n$，即$\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n + 1} - 1)$。
当$n$趋于无穷大时，$\sqrt{n + 1}$也趋于无穷大，所以：
$\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n + 1} - 1) = +\infty$
这与步骤b一致。 - 根据极限值判断级数的收敛性：
根据级数收敛的定义，如果级数的部分和$S_n$当$n$趋于无穷大时的极限存在且为有限值，则级数收敛；否则，级数发散。
由于$\lim_{n \to \infty}S_n = +\infty$，极限不存在且为无穷大，所以级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$发散，这与步骤e一致。