题目
2.设随机变量X_(1),X_(2),... X_(n),相互独立且同分布，它们的期望为u，方差为sigma^2,Z_(n)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)则对任意的正数ε，有lim_(ntoinfty)P|Z_{n)-u|leqvarepsilon}=1().square√square×
2.设随机变量$X_{1},X_{2},\cdots X_{n},$相互独立且同分布，它们的期望为u，方差为$\sigma^{2},Z_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$则对任意的正数ε，有$\lim_{n\to\infty}P\left\{\left|Z_{n}-u\right|\leq\varepsilon\right\}=1().$
$\square$√
$\square$×
题目解答
答案
根据大数定律，对于独立同分布的随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，其算术平均值 $Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 在 $n \to \infty$ 时依概率收敛于期望值 $\mu$。即对于任意正数 $\varepsilon$，有
\[
\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|Z_n - \mu\right| \geq \varepsilon\right\} = 0,
\]
或等价地
\[
\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|Z_n - \mu\right| < \varepsilon\right\} = 1.
\]
因此，题目中的陈述正确。
答案：$\boxed{\sqrt{}}$
解析
本题考查大数定律的知识。解题思路是根据大数定律的定义来判断随机变量序列的算术平均值与期望值之间的依概率收敛关系。
根据大数定律，对于相互独立且同分布的随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n_n$，它们的期望为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$$，设 $Zn = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} Xi$，则有 $\lim{n \to \infty} Z_n = \mu$。
依概率收敛的定义为：对于任意的正数 $\varepsilon$，有 $\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|Z_n - \mu\right| \geq \varepsilon\right\} = 0$。
由 $\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|Z_n - \mu\right| \geq \varepsilon\right\} = 0$ 可得 $\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|Z_n - \mu\right| < \varepsilon\right\} = 1$，又因为 $\left|Z_n - \mu\right| < \varepsilon$ 等价于 $\left|Z_n - \mu\right| \leq \varepsilon$，所以 $\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|Z_n - \mu\right| \leq \varepsilon\right\} = 1$。