题目
平面x-y+2z+6=0和平面x-y+2z+6=0的夹角为（）x-y+2z+6=0
平面
和平面
的夹角为（）
题目解答
答案
根据两平面方程得到两平面的法向量
和
∴两法向量的夹角为
再由两平面的位置关系，可知两平面的夹角为锐角
为
解析
步骤 1：确定两平面的法向量
根据平面方程，平面x-y+2z+6=0的法向量为$\alpha=(1,-1,2)$，平面2x+y+z-3=0的法向量为$\beta=(2,1,1)$。
步骤 2：计算两法向量的夹角
两法向量的夹角余弦值为$\cos \lt \alpha ,\beta \gt =\dfrac {\alpha \cdot \beta }{|\alpha ||\beta |}$，其中$\alpha \cdot \beta$表示两向量的点积，$|\alpha |$和$|\beta |$分别表示两向量的模。
$\alpha \cdot \beta =1\times 2-1\times 1+2\times 1=3$
$|\alpha |=\sqrt {1+1+{2}^{2}}=\sqrt {6}$
$|\beta |=\sqrt {{2}^{2}+1+1}=\sqrt {6}$
$\cos \lt \alpha ,\beta \gt =\dfrac {3}{\sqrt {6}\times \sqrt {6}}=\dfrac {1}{2}$
步骤 3：确定两平面的夹角
由于两平面的夹角为锐角或直角，因此两平面的夹角为$\dfrac {\pi }{3}$。
根据平面方程，平面x-y+2z+6=0的法向量为$\alpha=(1,-1,2)$，平面2x+y+z-3=0的法向量为$\beta=(2,1,1)$。
步骤 2：计算两法向量的夹角
两法向量的夹角余弦值为$\cos \lt \alpha ,\beta \gt =\dfrac {\alpha \cdot \beta }{|\alpha ||\beta |}$，其中$\alpha \cdot \beta$表示两向量的点积，$|\alpha |$和$|\beta |$分别表示两向量的模。
$\alpha \cdot \beta =1\times 2-1\times 1+2\times 1=3$
$|\alpha |=\sqrt {1+1+{2}^{2}}=\sqrt {6}$
$|\beta |=\sqrt {{2}^{2}+1+1}=\sqrt {6}$
$\cos \lt \alpha ,\beta \gt =\dfrac {3}{\sqrt {6}\times \sqrt {6}}=\dfrac {1}{2}$
步骤 3：确定两平面的夹角
由于两平面的夹角为锐角或直角，因此两平面的夹角为$\dfrac {\pi }{3}$。