题目

0 2 4 0-|||-2 0 0 -3-|||--1 2 1 0-|||-0 3 0 1且第三行元素的代数余子式为0 2 4 0-|||-2 0 0 -3-|||--1 2 1 0-|||-0 3 0 1,正确的是( )A.0 2 4 0-|||-2 0 0 -3-|||--1 2 1 0-|||-0 3 0 1B 0 2 4 0-|||-2 0 0 -3-|||--1 2 1 0-|||-0 3 0 1 C 0 2 4 0-|||-2 0 0 -3-|||--1 2 1 0-|||-0 3 0 1D 0 2 4 0-|||-2 0 0 -3-|||--1 2 1 0-|||-0 3 0 1

$D=\begin{vmatrix} 0 &2& 4& 0\\ 2& 0& 0& -3\\ -1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 0& 1 \end{vmatrix}$ 且第三行元素的代数余子式为 $A_{31},A_{32},A_{33},A_{34}$ ,正确的是( )

A. $D=48$

B $A_{31}=36$

C $2A_{31}-3A_{34}=0$

D $b_1A_{31}+b_2A_{32}+b_3A_{33}+b_4A_{34}=\begin{vmatrix} 0 &2& 4& 0\\ 2& 0& 0& -3\\ b_1&b_ 2& b_3& b_4\\ 0& 3& 0& 1 \end{vmatrix}$

题目解答

答案

选项A：

将行列式按第一列展开，得 $D=\begin{vmatrix} 0 &2& 4& 0\\ 2& 0& 0& -3\\ -1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 0& 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2& 4& 0\\ 0& 0& -3\\ 3& 0& 1 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2& 4& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 0& 1 \end{vmatrix}$

将 $\begin{vmatrix} 2& 4& 0\\ 0& 0& -3\\ 3& 0& 1 \end{vmatrix}$ 按第一列展开，得

$\begin{vmatrix} 2& 4& 0\\ 0& 0& -3\\ 3& 0& 1 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} 0& -3\\ 0& 1 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 4& 0\\ 0& -3 \end{vmatrix}$

由二阶行列式公式，易得 $2\begin{vmatrix} 0& -3\\ 0& 1 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 4& 0\\ 0& -3 \end{vmatrix}=-36$ ；

将 $\begin{vmatrix} 2& 4& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 0& 1 \end{vmatrix}$ 按第三列展开，得

$\begin{vmatrix} 2& 4& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 0& 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2& 4\\ 2& 1 \end{vmatrix}=2-8=-6$ ；

因此 $D=-36+12=-24$ ；

选项B：

由代数余子式的定义， $A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 2& 4& 0\\ 0& 0& -3\\ 3& 0& 1 \end{vmatrix}$ ；

由上述计算结果， $\begin{vmatrix} 2& 4& 0\\ 0& 0& -3\\ 3& 0& 1 \end{vmatrix}=-36$ ，

因此 $A_{31}=-36$ ；

选项C：

由代数余子式的定义， $A_{34}=(-1)^{3+4}\begin{vmatrix} 0 &2& 4\\ 2& 0& 0\\ 0& 3& 0 \end{vmatrix}$ ；

按第二行展开，得 $\begin{vmatrix} 0 &2& 4\\ 2& 0& 0\\ 0& 3& 0 \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} 2& 4\\ 3& 0 \end{vmatrix}=24$ ；

因此

$2A_{31}-3A_{34}=-144$ ；

选项D：

由行列式的展开式性质，易得 $b_1A_{31}+b_2A_{32}+b_3A_{33}+b_4A_{34}$ 即为将 $b_1,b_2,b_3,b_4$ 与第三行置换后得到的新行列式的值；

因此 $b_1A_{31}+b_2A_{32}+b_3A_{33}+b_4A_{34}=\begin{vmatrix} 0 &2& 4& 0\\ 2& 0& 0& -3\\ b_1&b_ 2& b_3& b_4\\ 0& 3& 0& 1 \end{vmatrix}$

综上，答案为D.