题目
计算三重积分 iiintlimits_(Omega)z^2dV，其中 Omega 是由曲面 z=sqrt(x^2)+y^(2) 和 z=sqrt(2-x^2)-y^(2) 所围在第一卦限内的部分.
计算三重积分 $\iiint\limits_{\Omega}z^{2}dV$，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 所围在第一卦限内的部分.
题目解答
答案
为了计算三重积分 $\iiint\limits_{\Omega}z^{2}dV$，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 所围在第一卦限内的部分，我们将使用柱坐标系。在柱坐标系中，变量 $x$，$y$ 和 $z$ 分别表示为 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$ 和 $z = z$，体积元素 $dV$ 变为 $r \, dz \, dr \, d\theta$。
首先，我们需要确定积分的范围。曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 在柱坐标系中变为 $z = r$，而曲面 $z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$ 变为 $z = \sqrt{2 - r^2}$。这两个曲面的交点通过设置 $r = \sqrt{2 - r^2}$ 来找到，这给出 $r^2 = 2 - r^2$ 或 $2r^2 = 2$ 或 $r^2 = 1$ 或 $r = 1$（因为我们在第一卦限内，我们取正根）。
在第一卦限内，$\theta$ 的范围从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，$r$ 的范围从 $0$ 到 $1$，而 $z$ 的范围从 $r$ 到 $\sqrt{2 - r^2}$。因此，三重积分变为：
\[
\iiint\limits_{\Omega}z^{2}dV = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \int_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} z^2 r \, dz \, dr \, d\theta.
\]
我们首先对 $z$ 进行积分：
\[
\int_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} z^2 r \, dz = r \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} = r \left( \frac{(\sqrt{2 - r^2})^3}{3} - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{r}{3} \left( (2 - r^2)^{3/2} - r^3 \right).
\]
接下来，我们对 $r$ 进行积分：
\[
\int_{0}^{1} \frac{r}{3} \left( (2 - r^2)^{3/2} - r^3 \right) \, dr = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} r (2 - r^2)^{3/2} \, dr - \frac{1}{3} \int_{0}^{1} r^4 \, dr.
\]
对于第一个积分，我们使用代换 $u = 2 - r^2$，所以 $du = -2r \, dr$ 或 $r \, dr = -\frac{1}{2} du$。当 $r = 0$ 时，$u = 2$，当 $r = 1$ 时，$u = 1$。因此，积分变为：
\[
\frac{1}{3} \int_{0}^{1} r (2 - r^2)^{3/2} \, dr = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \int_{2}^{1} u^{3/2} \, du \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3/2} \, du \right) = \frac{1}{6} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{15} \left( 2^{5/2} - 1 \right) = \frac{1}{15} \left( 4\sqrt{2} - 1 \right) = \frac{4\sqrt{2} - 1}{15}.
\]
对于第二个积分：
\[
\frac{1}{3} \int_{0}^{1} r^4 \, dr = \frac{1}{3} \left[ \frac{r^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}.
\]
将所有部分放在一起，我们得到：
\[
\frac{1}{3} \int_{0}^{1} r (2 - r^2)^{3/2} \, dr - \frac{1}{3} \int_{0}^{1} r^4 \, dr = \frac{4\sqrt{2} - 1}{15} - \frac{1}{15} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{15}.
\]
最后，我们对 $\theta$ 进行积分：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4\sqrt{2} - 2}{15} \, d\theta = \frac{4\sqrt{2} - 2}{15} \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{15} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi (4\sqrt{2} - 2)}{30} = \frac{\pi (2\sqrt{2} - 1)}{15}.
\]
因此，三重积分的值是：
\[
\boxed{\frac{\pi (2\sqrt{2} - 1)}{15}}.
\]
解析
本题考查利用柱坐标系计算三重积分。解题思路如下：
- 确定积分区域：
- 已知积分区域 $\Omega$ 由曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$ 所围在第一卦限内的部分。
- 在柱坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元素 $dV = r\ dz\ dr\ d\theta$。
- 曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 变为 $z = r$，曲面 $z = \sqrt{2 - x^2 - y^2}$ 变为 $z = \sqrt{2 - r^2}$。
- 求两曲面交点：令 $r = \sqrt{2 - r^2}$，两边平方得 $r^2 = 2 - r^2$，移项可得 $2r^2 = 2$，即 $r^2 = 1$，因为在第一卦限，所以 $r = 1$。
- 由于是在第一卦限，所以 $\theta$ 的范围是 $0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$，$r$ 的范围是 $0\leqslant r\leqslant 1$，$z$ 的范围是 $r\leqslant z\leqslant\sqrt{2 - r^2}$。
- 将三重积分转化为柱坐标下的累次积分：
- 根据上述积分区域，三重积分 $\iiint\limits_{\Omega}z^{2}dV$ 可转化为 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \int_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} z^2 r\ dz\ dr\ d\theta$。
- 分步计算累次积分：
- 对 $z$ 积分：
- 根据积分公式 $\int z^n dz=\frac{z^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，计算 $\int_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} z^2 r\ dz$。
- $\int_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} z^2 r\ dz = r\left[\frac{z^3}{3}\right]_{r}^{\sqrt{2 - r^2}} = r\left(\frac{(\sqrt{2 - r^2})^3}{3}-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{r}{3}\left((2 - r^2)^{\frac{3}{2}}-r^3\right)$。
- 对 $r$ 积分：
- $\int_{0}^{1} \frac{r}{3}\left((2 - r^2)^{\frac{3}{2}}-r^3\right)dr=\frac{1}{3}\int_{0}^{1} r(2 - r^2)^{\frac{3}{2}}dr-\frac{1}{3}\int_{0}^{1} r^4 dr$。
- 对于 $\frac{1}{3}\int_{0}^{1} r(2 - r^2)^{\frac{3}{2}}dr$，令 $u = 2 - r^2$，则 $du=-2r\ dr$，$r\ dr=-\frac{1}{2}du$。
- 当 $r = 0$ 时，$u = 2$；当 $r = 1$ 时，$u = 1$。
- 所以 $\frac{1}{3}\int_{0}^{1} r(2 - r^2)^{\frac{3}{2}}dr=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\int_{2}^{1} u^{\frac{3}{2}}du\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{\frac{3}{2}}du\right)$。
- 再根据积分公式 $\int u^n du=\frac{u^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得 $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{\frac{3}{2}}du\right)=\frac{1}{6}\left[\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right]_{1}^{2}=\frac{1}{15}\left(2^{\frac{5}{2}}-1\right)=\frac{1}{15}(4\sqrt{2}-1)$。
- 对于 $\frac{1}{3}\int_{0}^{1} r^4 dr$，根据积分公式可得 $\frac{1}{3}\left[\frac{r^5}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{15}$。
- 则 $\frac{1}{3}\int_{0}^{1} r(2 - r^2)^{\frac{3}{2}}dr-\frac{1}{3}\int_{0}^{1} r^4 dr=\frac{4\sqrt{2}-1}{15}-\frac{1}{15}=\frac{4\sqrt{2}-2}{15}$。
- 对 $\theta$ 积分：
- $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{4\sqrt{2}-2}{15}d\theta=\frac{4\sqrt{2}-2}{15}[\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{4\sqrt{2}-2}{15}\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi(4\sqrt{2}-2)}{30}=\frac{\pi(2\sqrt{2}-1)}{15}$。
- 对 $z$ 积分：