三元二次型 f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_1x_2+6x_2x_3+4x_2^2+12x_2x_3+9x_3^2 的矩阵为()A. } 1 & 2 & 6 2 & 4 & 6 0 & 6 & 9

二次型矩阵的构造是本题的核心考查点。二次型的一般形式为$f = \sum a_{ij}x_ix_j$，其对应的对称矩阵$A$满足：

• 对角线元素$a_{ii}$对应$x_i^2$项的系数；
• 非对角线元素$a_{ij}$（$i \neq j$）对应$x_ix_j$项系数的一半。

解题关键在于正确合并同类项，确定各交叉项的系数，并据此构造矩阵。需特别注意题目中可能存在的笔误或选项设置的陷阱。

1. 整理二次型
   原式为：
   $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_1x_2+6x_2x_3+4x_2^2+12x_2x_3+9x_3^2$
   合并同类项后：
   $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 +4x_1x_2 +4x_2^2 +18x_2x_3 +9x_3^2$

2. 确定矩阵元素

   • 平方项系数：
     $a_{11}=1$（$x_1^2$），$a_{22}=4$（$x_2^2$），$a_{33}=9$（$x_3^2$）。
   • 交叉项系数：
     $x_1x_2$项系数为$4$，故$a_{12}=a_{21}=4/2=2$；
     $x_2x_3$项系数为$18$，故$a_{23}=a_{32}=18/2=9$；
     $x_1x_3$项未出现，故$a_{13}=a_{31}=0$。

3. 构造矩阵
   理论上应为：
   $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 9 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix}$
   但选项中无此矩阵。选项B的矩阵为：
   $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$
   对应二次型为：
   $x_1^2 +4x_1x_2 +6x_1x_3 +4x_2^2 +12x_2x_3 +9x_3^2$
   与原式仅在$x_1x_3$项存在差异，推测题目或选项存在笔误，选项B最接近正确答案。