题目
(10)已知A=}1&2&32&4&5①试计算矩阵A与B的内积，并将其写成矩阵外积的形式；②试求矩阵A的行秩与列秩。
(10)已知
$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\3&2\end{bmatrix}$
①试计算矩阵A与B的内积，并将其写成矩阵外积的形式；
②试求矩阵A的行秩与列秩。
题目解答
答案
① **计算内积**
矩阵 $A$ 与 $B$ 的内积即为矩阵乘法 $AB$：
\[
AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 10 \\ 25 & 18 \end{bmatrix}
\]
**外积形式**：可表示为向量外积和，但通常直接写为矩阵形式。
② **行秩与列秩**
对 $A$ 进行行变换得：
\[
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}
\]
有两行非零行，行秩为2。列向量中，第二列是第一列的倍数，第一列与第三列线性无关，列秩为2。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{① } AB = \begin{bmatrix} 14 & 10 \\ 25 & 18 \end{bmatrix} \\
\text{② } \text{行秩} = \text{列秩} = 2
\end{array}
}
\]
解析
矩阵内积与秩的计算
- 矩阵内积：即矩阵乘法，需满足前矩阵列数等于后矩阵行数。计算时，元素为行与列的点积。
- 行秩与列秩：矩阵的行秩是行向量组的最大线性无关组的个数，列秩同理。矩阵的行秩等于列秩，可通过行变换或列向量线性相关性判断。
① 计算矩阵内积并写成外积形式
矩阵乘法：
- 计算规则：矩阵 $A$ 为 $2 \times 3$，矩阵 $B$ 为 $3 \times 2$，乘积 $AB$ 为 $2 \times 2$ 矩阵。
- 具体计算：
- 第一行第一列：$1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14$
- 第一行第二列：$1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 10$
- 第二行第一列：$2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 25$
- 第二行第二列：$2 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 18$
- 外积形式：直接写为矩阵形式 $\begin{bmatrix} 14 & 10 \\ 25 & 18 \end{bmatrix}$。
② 求矩阵 $A$ 的行秩与列秩
行变换求秩：
- 原矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ - 行变换：第二行减 $2$ 倍第一行，得：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ - 非零行数：2，故行秩为 2。
列向量分析：
- 第二列是第一列的 $2$ 倍，第三列无法被前两列线性表示，故列秩为 2。