题目
设是由三点构成的三角形区域，则（ ）.A B C D
设
是由
三点构成的三角形区域，则
（ ）.
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
如图，连接
，可将积分区域分为
两部分：
其中
关于
轴对称，其中
关于
轴对称.将原积分分为两部分：
，
，由于被积函数
既是关于的奇函数，也是关于的奇函数，由对称性可知
，而
被积函数
是关于的奇函数,是关于的偶函数，则
,则只需计算
,则
,故选择A选项.
解析
步骤 1：确定积分区域
三角形区域由点$A(\pi ,\pi )$，$B(-\pi ,\pi )$，$C(-\pi ,-\pi )$构成。该区域关于y轴对称，可以分为两部分：$D_1$和$D_2$，其中$D_1$在y轴右侧，$D_2$在y轴左侧。
步骤 2：将原积分分为两部分
原积分可以分为两部分：$\iint (xy+\sin x\cos y)dxdy = \iint xydxdy + \iint \sin x\cos ydxdy$。
步骤 3：计算$\iint xydxdy$
由于被积函数$xy$既是关于$x$的奇函数，也是关于$y$的奇函数，由对称性可知$\iint xydxdy=0$。
步骤 4：计算$\iint \sin x\cos ydxdy$
被积函数$\sin x\cos y$是关于$x$的奇函数，是关于$y$的偶函数。因此，$\iint \sin x\cos ydxdy$在$D_2$上的积分为0，只需计算$D_1$上的积分。
$\iint \sin x\cos ydxdy = \int_{-\pi}^{\pi} \cos ydy \int_{-\pi}^{0} \sin xdx = 2\int_{-\pi}^{0} \sin xdx = 2[-\cos x]_{-\pi}^{0} = 2[-1 - (-1)] = -2$。
步骤 5：计算原积分
原积分$\iint (xy+\sin x\cos y)dxdy = 0 + (-2) = -2$。
三角形区域由点$A(\pi ,\pi )$，$B(-\pi ,\pi )$，$C(-\pi ,-\pi )$构成。该区域关于y轴对称，可以分为两部分：$D_1$和$D_2$，其中$D_1$在y轴右侧，$D_2$在y轴左侧。
步骤 2：将原积分分为两部分
原积分可以分为两部分：$\iint (xy+\sin x\cos y)dxdy = \iint xydxdy + \iint \sin x\cos ydxdy$。
步骤 3：计算$\iint xydxdy$
由于被积函数$xy$既是关于$x$的奇函数，也是关于$y$的奇函数，由对称性可知$\iint xydxdy=0$。
步骤 4：计算$\iint \sin x\cos ydxdy$
被积函数$\sin x\cos y$是关于$x$的奇函数，是关于$y$的偶函数。因此，$\iint \sin x\cos ydxdy$在$D_2$上的积分为0，只需计算$D_1$上的积分。
$\iint \sin x\cos ydxdy = \int_{-\pi}^{\pi} \cos ydy \int_{-\pi}^{0} \sin xdx = 2\int_{-\pi}^{0} \sin xdx = 2[-\cos x]_{-\pi}^{0} = 2[-1 - (-1)] = -2$。
步骤 5：计算原积分
原积分$\iint (xy+\sin x\cos y)dxdy = 0 + (-2) = -2$。