题目
1.将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数.-|||-(1) dfrac (ln (2-z))(z(z-1)) lt |z-1|lt 1;-|||-(2) dfrac (1)({x)^2((z)^2-dfrac (5)(2)z+1)} lt |x|lt dfrac (1)(2)-|||-(3) sin dfrac (1)(x-2), lt |z-2|lt +infty ,
题目解答
答案
解析
步骤 1：将 $\ln(2-x)$ 展开为洛朗级数
$\ln(2-x)$ 可以写成 $\ln(1-(x-1))$，利用 $\ln(1-u) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u^n}{n}$，其中 $u = x-1$，得到 $\ln(2-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n}$。
步骤 2：将 $\frac{\ln(2-x)}{z(x-1)}$ 展开为洛朗级数
将 $\ln(2-x)$ 的级数代入 $\frac{\ln(2-x)}{z(x-1)}$，得到 $\frac{\ln(2-x)}{z(x-1)} = -\frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n-1}}{n}$。
步骤 3：将 $\frac{1}{{z}^{2}({z}^{2}-\frac{5}{2}z+1)}$ 展开为洛朗级数
首先，将分母分解为 $\frac{1}{{z}^{2}({z}^{2}-\frac{5}{2}z+1)} = \frac{1}{{z}^{2}(z-2)(z-\frac{1}{2})}$，然后利用部分分式分解，得到 $\frac{1}{{z}^{2}(z-2)(z-\frac{1}{2})} = \frac{1}{z^2}(\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-\frac{1}{2}})$。
步骤 4：将 $\sin \frac{1}{z-2}$ 展开为洛朗级数
利用 $\sin u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}$，其中 $u = \frac{1}{z-2}$，得到 $\sin \frac{1}{z-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} (z-2)^{-(2n+1)}$。
$\ln(2-x)$ 可以写成 $\ln(1-(x-1))$，利用 $\ln(1-u) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u^n}{n}$，其中 $u = x-1$，得到 $\ln(2-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n}$。
步骤 2：将 $\frac{\ln(2-x)}{z(x-1)}$ 展开为洛朗级数
将 $\ln(2-x)$ 的级数代入 $\frac{\ln(2-x)}{z(x-1)}$，得到 $\frac{\ln(2-x)}{z(x-1)} = -\frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n-1}}{n}$。
步骤 3：将 $\frac{1}{{z}^{2}({z}^{2}-\frac{5}{2}z+1)}$ 展开为洛朗级数
首先，将分母分解为 $\frac{1}{{z}^{2}({z}^{2}-\frac{5}{2}z+1)} = \frac{1}{{z}^{2}(z-2)(z-\frac{1}{2})}$，然后利用部分分式分解，得到 $\frac{1}{{z}^{2}(z-2)(z-\frac{1}{2})} = \frac{1}{z^2}(\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-\frac{1}{2}})$。
步骤 4：将 $\sin \frac{1}{z-2}$ 展开为洛朗级数
利用 $\sin u = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}$，其中 $u = \frac{1}{z-2}$，得到 $\sin \frac{1}{z-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} (z-2)^{-(2n+1)}$。