题目
1.函数f(x,y)=x^2+2y^2在(0,1)处最大的方向导数为_____.
1.函数$f(x,y)=x^{2}+2y^{2}$在(0,1)处最大的方向导数为_____.
题目解答
答案
函数 $ f(x, y) = x^2 + 2y^2 $ 的梯度为：
\[
\nabla f = (2x, 4y).
\]
在点 $(0, 1)$ 处，梯度为：
\[
\nabla f(0, 1) = (0, 4).
\]
最大方向导数等于梯度的模：
\[
$\nabla f(0, 1)$ = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4.
\]
因此，答案为 $\boxed{4}$。
解析
步骤 1：计算函数$f(x,y)$的梯度
函数$f(x,y)=x^{2}+2y^{2}$的梯度为：\[ \nabla f = (2x, 4y). \]
步骤 2：计算点(0,1)处的梯度
在点$(0,1)$处，梯度为：\[ \nabla f(0,1) = (2 \cdot 0, 4 \cdot 1) = (0, 4). \]
步骤 3：计算梯度的模
最大方向导数等于梯度的模：\[ |\nabla f(0,1)| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4. \]
函数$f(x,y)=x^{2}+2y^{2}$的梯度为：\[ \nabla f = (2x, 4y). \]
步骤 2：计算点(0,1)处的梯度
在点$(0,1)$处，梯度为：\[ \nabla f(0,1) = (2 \cdot 0, 4 \cdot 1) = (0, 4). \]
步骤 3：计算梯度的模
最大方向导数等于梯度的模：\[ |\nabla f(0,1)| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4. \]