用数列极限的定义证明：lim _(narrow infty )dfrac (3n+1)(2n+1)=dfrac (3)(2)-|||-__

步骤 1：定义数列极限
数列极限的定义是：对于任意的正数 $\varepsilon$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}| < \varepsilon$。

步骤 2：计算差值
计算差值 $|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}|$，得到：
$$
|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}| = |\dfrac{6n+2-6n-3}{4n+2}| = |\dfrac{-1}{4n+2}|
$$

步骤 3：找到合适的 $N$
为了使 $|\dfrac{-1}{4n+2}| < \varepsilon$，我们需要找到一个 $N$，使得当 $n > N$ 时，上述不等式成立。即：
$$
\dfrac{1}{4n+2} < \varepsilon
$$
解这个不等式，得到：
$$
n > \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac{1}{2}
$$
因此，取 $N = \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac{1}{2}$，当 $n > N$ 时，有 $|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}| < \varepsilon$。