题目
设 L: x = t, y = cos t, z = sin t, 0 leq t leq 1, 且线密度 rho = sqrt(2) y, 则 L 的质量为 ();A. 2 sin 1B. 2C. sqrt(2)D. sqrt(2) sin 1
设 $L: x = t, y = \cos t, z = \sin t, 0 \leq t \leq 1$, 且线密度 $\rho = \sqrt{2} y$, 则 $L$ 的质量为 ();
A. $2 \sin 1$
B. $2$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2} \sin 1$
题目解答
答案
A. $2 \sin 1$
解析
步骤 1：确定曲线 $L$ 的参数方程和线密度
曲线 $L$ 的参数方程为 $x = t$, $y = \cos t$, $z = \sin t$，其中 $0 \leq t \leq 1$。线密度 $\rho = \sqrt{2}y = \sqrt{2}\cos t$。
步骤 2：计算弧长元素 $ds$
弧长元素 $ds$ 由曲线的参数方程导数的平方和的平方根给出，即
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt = \sqrt{1 + \sin^2 t + \cos^2 t} \, dt = \sqrt{2} \, dt \]
步骤 3：计算曲线 $L$ 的质量
质量 $m$ 为线密度 $\rho$ 沿曲线 $L$ 的积分，即
\[ m = \int_L \rho \, ds = \int_0^1 \sqrt{2} \cos t \cdot \sqrt{2} \, dt = \int_0^1 2 \cos t \, dt = 2 \sin t \bigg|_0^1 = 2 \sin 1 \]
曲线 $L$ 的参数方程为 $x = t$, $y = \cos t$, $z = \sin t$，其中 $0 \leq t \leq 1$。线密度 $\rho = \sqrt{2}y = \sqrt{2}\cos t$。
步骤 2：计算弧长元素 $ds$
弧长元素 $ds$ 由曲线的参数方程导数的平方和的平方根给出，即
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt = \sqrt{1 + \sin^2 t + \cos^2 t} \, dt = \sqrt{2} \, dt \]
步骤 3：计算曲线 $L$ 的质量
质量 $m$ 为线密度 $\rho$ 沿曲线 $L$ 的积分，即
\[ m = \int_L \rho \, ds = \int_0^1 \sqrt{2} \cos t \cdot \sqrt{2} \, dt = \int_0^1 2 \cos t \, dt = 2 \sin t \bigg|_0^1 = 2 \sin 1 \]