2、单选 极限 lim_((x,y)to(0,0))(xy^2)/(x^2)+y^(4)= （）.A. 2B. 1C. 不存在D. 0

本题考查二元函数极限是否存在的判断。解题思路是通过选取不同的路径趋近于点$(0,0)$，若沿不同路径得到的极限值不同，则函数在该点的极限不存在。

下面我们通过选取不同路径来计算极限：

• 路径一：沿$x = ky^2$趋近于$(0,0)$
  将$x = ky^2$代入到函数$\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}$中，此时$x$和$y$的关系确定，我们可以将其转化为关于$y$的一元函数极限来计算。
  $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\lim_{y\to0}\frac{(ky^2)\cdot y^{2}}{(ky^2)^{2}+y^{4}}$
  根据幂的运算法则$(ab)^n=a^nb^n$对上式进行化简：
  $\lim_{y\to0}\frac{(ky^2)\cdot y^{2}}{(ky^2)^{2}+y^{4}}=\lim_{y\to0}\frac{ky^4}{k^2y^4 + y^{4}}$
  提取公因式$y^4$可得：
  $\lim_{y\to0}\frac{ky^4}{y^4(k^2 + 1)}=\lim_{y\to0}\frac{k}{k^2 + 1}$
  此时极限值与$k$有关，当$k$取不同的值时，极限值不同。例如，当$k = 0$时，极限值为$\frac{0}{0^2 + 1}=0$；当$k = 1$时，极限值为$\frac{1}{1^2 + 1}=\frac{1}{2}$。

由于沿不同路径趋近于$(0,0)$时极限值不同，所以极限$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}$不存在。