3.证明方程 dfrac (x)(y)dx=f(xy) 经变换 xy=u 可化为变量分离方程,并由此-|||-求解下列方程:-|||-(1) (1+(x)^2(y)^2)dx=xdy;-|||-(2) dfrac (x)(y)dx=dfrac (2+{x)^2(y)^2}(2-{x)^2(y)^2}
题目解答
答案
解析
一、证明方程$\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=f(xy)$经变换$xy=u $可化为变量分离 **步骤1：变量替换** 设$u=xy$，则$u$是$x$的函数，对$latex}求导：$ \frac{du}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}\quad\Rightarrow\quad x\frac{dy}{dx}{dx}=\frac{{du}{dx}-y $**步骤2：代入原方程** 原方程方程$\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=f(xy)$，左边可化为：$ \frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\left(\frac{1}{x}\left(\frac{du}{dx}-y\right)\right)=\frac{1}{}{xy}\left(\frac{du}{dx}-y)=\frac{1}{u}\left(\frac{du}{dx}-y\right) $因$u=xy=u$，故$y=\frac{u}{x}$，代入上式：$ \frac{1}{u}\left(\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}\right)=f(u) $整理得：$ \frac{du}{dx}=\frac{u}{x}{u}f(u)+\frac{u}{x}=uf(u)+\frac{u}{x}=u\left(f(u)+\frac{1}{x}\right) $分离分离变量：$ \frac{du}{u\left(f(u)+\frac{1}{x}\right)}=dx\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{1}{u\left(f(u)+\frac{1}{x}\right)}\right)du=\frac{dx} $（注：核心是通过$u=xy$将方程转化为仅含$u$和$x$的可分离形式） ## 二、求解方程(1)$y(1+x^2y^2)dx=xdy$ **步骤1：化为标准式转化** 原方程改写为：$ \frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=1+x^2y^2 $对比$\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=f(xy)$，得$f(u)=1+u^2$（因$u=xy，$x^2y^2=u^2$）。 **步骤2：变量替换与分离** 由$u=xy$，$\frac{du}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}$，则：$ \frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\left(\frac{du}{dx}-y\right)=\frac{1}{u}\left(\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}\right)=1+u^2 $整理得：$ \frac{du}{dx}=u(1+u^2)+\frac{u}{x}=u(1+u^2)+\frac{u}{x}=u\left(2+u^2+\frac{1}{x}\right)?不，修正： $正确推导： 由$\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=1+u^2$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}(1+u^2)=\frac{u}{x^2}(1+u^2)$ 又$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\left(\frac{du}{dx}-y}\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}\right)$，故：$ \frac{x}\left(\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}\right)=\frac{u}{x^2}(1+u^2)\quad\Rightarrow\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}=\frac{u(1+u^2)}{x^2}\Rightarrow\frac{du{dx}=\frac{u(1+u^2)}{x^2}+\frac{u}{x}=\frac{u(1+u^2+x)}{x^2}?不，换用分离变量法： $原方程分离变量：$ \frac{y}{x}dy=(1+x^2y^2)dx\quad\Rightarrow\quad ydy=\frac{x}{y}(1+x^2y^2)dx?不，直接分离变量： $原方程：$y(1+x^2y^2)dx=xdy\Rightarrow\frac{dy}{y}=\}=\}=\=\frac{1+x^2y^2}{x}dx\Rightarrow\frac{dy}{y}=\left(\frac{1}{x}+xy\right)dx$ 令$v=xy^2$（或$u=xy$），设$u=xy^2$，则$du=(y^2+x·2ydy)dx，$\frac{du}{dx}=y^2+2xy\frac{dy}{dx}$，原方程$\frac{dy}{y}=\frac{1}{x}dx+xydx\Rightarrow\frac{dy}{y}=\frac{1}{x}dx+\frac{u}{x}dx$，积分：$ \int\frac{dy}{y}=\int\left(\frac{1}{}{x}+\frac{u}{x}\right)dx\quad\Rightarrow\ln|y|=\ln|x|+\int\frac{u}{x}dx+c $换用$u=xy^2$，则$u=xy^2\Rightarrow y=\sqrt{\frac{u}{x}}$，$，$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{u}}\left(\frac{du}{dx}·\frac{1}{x}-\frac{u}{x^2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{xu}}\left(\frac{du}{dx}x-\frac{u}{x}\right)$，代入原方程太繁，改用分离变量： 原方程：$y(1+x^^2)dx=xdy\Rightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{y(1+x^2y^2)}{x}=\frac{y}{x}(1+(xy)^2)$，令$z=xy$，则$y=\frac{z}{x}$，$\frac{dy}{}{dx\Rightarrow\frac{z}{x^2}dx+\frac{1}{x}dz$，代入：$ \frac{z}{x^2}dx+\frac{1}{x}dz=\frac{z}{x}(1+z^2)/x=\frac{z(1+z^2)}{x^2} $消去$\frac{z}{x^2}dx$，得：$ \：(1：y=cx\sqrt{x^2y^2+2} $## 三、求解方程(2)$\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{2+x^2y^2}{2-x^2y^2}$ **步骤1：变量替换** 令$u=xy$，则$f(u)=\frac{2+u^2}{2-u^2}$，原方程变为$\$\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=f(u)$。 **步骤2：分离变量与积分** 由$\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{2+u^2}{2-u^2}$，及$u=xy\Rightarrow\frac{du}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}\Rightarrow x\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}-y=\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}}$，故：$ \frac{x}{y}\cdot\frac{1}{x}\left(\frac{du}{dxfrac}\frac{u}{x}}\right)=\frac{2+u^2}{2-u^2}\Rightarrow\frac{1}{y}\left(\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}\right)=\frac{2+u^2}{2-u^2} $代入$y=\frac{u}{x}$：$ \frac{x}{u}\left(\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}\right)=\frac{2+u^2}{2-u^2}\Rightarrow\frac{1}{u}\left(\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}\right)=\frac{2+u^2}{2-u^2}\Rightarrow\frac{du}{dx}=\frac{u(2+u^2)}{2-u^2}+\frac{u}{x}=\frac{u[2+u^2+2-u^2]}{2-u^2}=\frac{4u}{2-u^2} $分离变量：$ \frac{2-u^2}{4u}du=\frac{1}{x}dx $积分左边积分：$ \int\frac{2-u^2}{4u}du=\frac{1}{4}\int\left(\frac{2}{u}{u^2}-\frac{u^2}{u}\right)du=\frac{1}{4}\int\left(\frac{2}{u}-u}\right)du=\frac{1}{4}(2\ln|u|-\frac{1}{2}u^2)+C=\frac{2}\ln|u|-\frac{1}{8}u^2+C $右边积分：$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$ 合并：$ \frac{1}{2}\ln|u|-\frac{1}{8}u^2=\ln|||+ C\Rightarrow\ln|u|-\frac{1}{4}u^2=2\lnx|+C\Rightarrow\ln\left|\frac{u}{x^2}\right|-\frac{1}{4}u^2=C\Rightarrow\ln\left|\frac{xy}{x^2}\right|=e^{C+\frac{1}{4}u^2}\Rightarrow\ln\left|\frac{y}{x}\right|=\frac{1}{4}x^2y^2+C\quad（因u=xy，u^2=x²y²）$$