平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且-|||-每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平-|||-面分成 ^2-n+2 部分.

本题考查数学归纳法的应用，解题思路是先验证基础情况（$n = 1$时命题成立），然后假设$n = k$时命题成立，在此基础上推导出$n = k + 1$时命题也成立，从而证明命题对任何正整数$n$都成立。

1. 验证基础情况：
   • 当$n = 1$时，一个圆将平面分成两部分，而将$n = 1$代入$n^{2}-n + 2$可得：$1^{2}-1 + 2=1 - 1+2 = 2$。
   • 所以当$n = 1$时，命题“$n$个圆把平面分成$n^{2}-n + 2$部分”成立。
2. 进行归纳假设：
   • 假设当$n = k(k\in N^{*})$时，命题成立，即$k$个圆把平面分成$f(k)=k^{2}-k + 2$部分。
3. 推导$n=k + 1$时的情况：
   • 当$n=k + 1$时，这$k + 1$个圆中的$k$个圆把平面分成$k^{2}-k + 2$部分。
   • 因为每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，所以第$k + 1$个圆与前面$k$个圆都相交，会有$2k$个交点。这$2k$个交点将第$k + 1$个圆分成$2k$条弧。
   • 又因为每条弧把它所在的平面部分分成了两部分，也就是每条弧会增加$1$个部分，那么$2k$条弧就会增加$2k$个部分。
   • 所以$k + 1$个圆把平面分成的部分数$f(k + 1)$为：
     • $f(k + 1)=f(k)+2k$。
     • 把$f(k)=k^{2}-k + 2$代入上式可得：$f(k + 1)=k^{2}-k + 2+2k$。
     • 对$k^{2}-k + 2+2k$进行化简：
       • $k^{2}-k + 2+2k=k^{2}+k + 2$。
       • 而$(k + 1)^{2}-(k + 1)+2=k^{2}+2k + 1-k - 1+2=k^{2}+k + 2$。
     • 所以$f(k + 1)=(k + 1)^{2}-(k + 1)+2$，即当$n = k + 1$时，命题也成立。