[题目]设 lim _(xarrow a)dfrac (f(x)-f(a))({(x-a))^2}=-1 则在 x=a 处 ()-|||-A.f(x)的导数存在,且 '(a)neq 0-|||-B.f(x)取得极大值-|||-C.f(x)取得极小值-|||-D.f(x)的导数不存在

考查要点：本题主要考查导数的定义、极限的性质以及极值的判定条件。
解题核心思路：

1. 导数的存在性：通过题目给出的极限形式，结合导数的定义，判断$f'(a)$是否存在及其具体值。
2. 极值的判定：利用极限结果分析$f(x)$在$x=a$附近的变化趋势，判断是否取得极值。
   破题关键点：

• 极限变形：将题目中的极限与导数定义式关联，通过极限运算确定$f'(a)=0$。
• 符号分析：结合分母$(x-a)^2$恒正的性质，通过极限值为负推导$f(x)-f(a)$的符号，进而判断极值类型。

步骤1：分析导数的存在性
根据导数的定义，若$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$存在，则$f'(a)$存在且等于该极限值。题目给出：
$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2} = -1$
将原式拆分为两部分：
$\lim_{x \to a} \left[ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot \dfrac{1}{x-a} \right] = -1$
若$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = L$存在，则原式变为$L \cdot \lim_{x \to a} \dfrac{1}{x-a}$。由于$\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x-a}$不存在（趋于无穷大），唯一可能使原极限存在的条件是$L=0$，即：
$f'(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = 0$
因此，选项A（$f'(a) \neq 0$）和D（导数不存在）均不成立。

步骤2：判断极值类型
由题目极限$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2} = -1$可知：

• 当$x$接近$a$时，分母$(x-a)^2 > 0$恒成立。
• 极限值为负，说明分子$f(x)-f(a) < 0$在$x$接近$a$时成立，即$f(x) < f(a)$。
  因此，$f(a)$是函数的一个极大值，选项B正确，选项C错误。