若齐次性方程组 ) k(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3)=0 -(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3)=0 (x)_(1)+3(x)_(2)+k(x)_(3)=0 . 9 Ck=9 Dk=-1

步骤 1：计算系数行列式
首先，我们需要计算给定齐次线性方程组的系数行列式。系数行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
k & 1 & 3 \\
-1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & k
\end{vmatrix}
$$
步骤 2：展开行列式
根据行列式的展开规则，我们对第一行进行展开：
$$
\begin{vmatrix}
k & 1 & 3 \\
-1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & k
\end{vmatrix}
= k \begin{vmatrix}
1 & 3 \\
3 & k
\end{vmatrix}
- 1 \begin{vmatrix}
-1 & 3 \\
1 & k
\end{vmatrix}
+ 3 \begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 3
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：计算二阶行列式
计算上述二阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
3 & k
\end{vmatrix}
= 1 \cdot k - 3 \cdot 3 = k - 9
$$
$$
\begin{vmatrix}
-1 & 3 \\
1 & k
\end{vmatrix}
= -1 \cdot k - 3 \cdot 1 = -k - 3
$$
$$
\begin{vmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 3
\end{vmatrix}
= -1 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = -3 - 1 = -4
$$
步骤 4：代入并简化
将上述结果代入行列式展开式中：
$$
k(k - 9) - 1(-k - 3) + 3(-4) = k^2 - 9k + k + 3 - 12 = k^2 - 8k - 9
$$
步骤 5：求解方程
令系数行列式等于0，求解k的值：
$$
k^2 - 8k - 9 = 0
$$
解这个一元二次方程，得到：
$$
k = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}
$$
$$
k = 9 \quad \text{或} \quad k = -1
$$