题目
4.设f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明 (int )_(a)^b((f(x)))^2dxgt 0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解题意
题目要求证明在区间 [a, b] 上，函数 f(x) 的平方的定积分大于零。已知条件是 f(x) 在 [a, b] 上连续且不恒等于零。
步骤 2：利用连续函数的性质
由于 f(x) 在 [a, b] 上连续且不恒等于零，存在至少一个点 ${x}_{0}\in [ a,b] $ 使得 $f({x}_{0})\neq 0$。因此，${f}^{2}({x}_{0})\gt 0$。
步骤 3：应用局部保号性
由连续函数的局部保号性，存在 ${x}_{0}$ 的一个邻域 $({x}_{0}-\delta ,{x}_{0}+\delta )$（当 ${x}_{0}=a$ 或 ${x}_{0}=b$ 时，取右邻域或左邻域），使得在该邻域内，${[ f(x)] }^{2}\geqslant \dfrac {{[ f({x}_{0})] }^{2}}{2}\gt 0$。
步骤 4：计算定积分
根据定积分的性质，可以得到：
${\int }_{a}^{b}{(f(x))}^{2}dx\geqslant {\int }_{{x}_{0}-\delta }^{{x}_{0}+\delta }{(f(x))}^{2}dx\geqslant {\int }_{{x}_{0}-\delta }^{{x}_{0}+\delta }\dfrac {{[ f({x}_{0})] }^{2}}{2}dx=\dfrac {{[ f({x}_{0})] }^{2}}{2}\cdot 2\delta = {[ f({x}_{0})] }^{2}\delta \gt 0$。
题目要求证明在区间 [a, b] 上，函数 f(x) 的平方的定积分大于零。已知条件是 f(x) 在 [a, b] 上连续且不恒等于零。
步骤 2：利用连续函数的性质
由于 f(x) 在 [a, b] 上连续且不恒等于零，存在至少一个点 ${x}_{0}\in [ a,b] $ 使得 $f({x}_{0})\neq 0$。因此，${f}^{2}({x}_{0})\gt 0$。
步骤 3：应用局部保号性
由连续函数的局部保号性，存在 ${x}_{0}$ 的一个邻域 $({x}_{0}-\delta ,{x}_{0}+\delta )$（当 ${x}_{0}=a$ 或 ${x}_{0}=b$ 时，取右邻域或左邻域），使得在该邻域内，${[ f(x)] }^{2}\geqslant \dfrac {{[ f({x}_{0})] }^{2}}{2}\gt 0$。
步骤 4：计算定积分
根据定积分的性质，可以得到：
${\int }_{a}^{b}{(f(x))}^{2}dx\geqslant {\int }_{{x}_{0}-\delta }^{{x}_{0}+\delta }{(f(x))}^{2}dx\geqslant {\int }_{{x}_{0}-\delta }^{{x}_{0}+\delta }\dfrac {{[ f({x}_{0})] }^{2}}{2}dx=\dfrac {{[ f({x}_{0})] }^{2}}{2}\cdot 2\delta = {[ f({x}_{0})] }^{2}\delta \gt 0$。