例2.25.曲线 sin (xy)+ln (y-x)=x 在点(0,1)处的切线方程是 __

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及利用导数求曲线在某一点处的切线方程。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对等式两边关于$x$求导，注意$y$是$x$的函数，需用链式法则和乘积法则。
2. 代入已知点：将点$(0,1)$代入导数表达式，解出$\frac{dy}{dx}\big|_{x=0}$（即切线的斜率）。
3. 写切线方程：利用点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$，代入斜率和切点坐标即可。

破题关键点：

• 正确求导：特别注意$\sin(xy)$和$\ln(y - x)$的导数形式，避免符号错误。
• 代入化简：代入$x=0, y=1$时，注意分母和乘积项的简化。

对等式$\sin(xy) + \ln(y - x) = x$两边关于$x$求导：

1. 求导过程：

   • 第一项$\sin(xy)$：
     外导数为$\cos(xy)$，内导数为$y + x\frac{dy}{dx}$（乘积法则），故整体导数为：
     $\cos(xy) \cdot \left(y + x\frac{dy}{dx}\right)$
   • 第二项$\ln(y - x)$：
     外导数为$\frac{1}{y - x}$，内导数为$\frac{dy}{dx} - 1$，故整体导数为：
     $\frac{1}{y - x} \cdot \left(\frac{dy}{dx} - 1\right)$
   • 右边$x$的导数为$1$。

   综上，导数方程为：
   $\cos(xy) \cdot \left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{y - x} \cdot \left(\frac{dy}{dx} - 1\right) = 1$

2. 代入点$(0,1)$：

   • 当$x=0, y=1$时，$\cos(0 \cdot 1) = \cos(0) = 1$，$\frac{1}{1 - 0} = 1$。
   • 代入后方程化简为：
     $1 \cdot (1 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) + 1 \cdot \left(\frac{dy}{dx} - 1\right) = 1$
     即：
     $1 + \frac{dy}{dx} - 1 = 1$
     解得：
     $\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} = 1$

3. 写切线方程：
   利用点斜式$y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$，整理得：
   $y = x + 1$