题目
二元函数 f(x,y)= x^3 + y^3 - 6xy 的（）A. 极大值为 f(0,0)= 0, 极小值为 f(2,2)= -8B. 极小值为 f(0,0)= 0, 极大值为 f(2,2)= -8C. 极小值为 f(2,2)= -8D. 极大值为 f(2,2)= -8
二元函数 $f(x,y)= x^3 + y^3 - 6xy$ 的（）
A. 极大值为 $f(0,0)= 0$, 极小值为 $f(2,2)= -8$
B. 极小值为 $f(0,0)= 0$, 极大值为 $f(2,2)= -8$
C. 极小值为 $f(2,2)= -8$
D. 极大值为 $f(2,2)= -8$
题目解答
答案
C. 极小值为 $f(2,2)= -8$
解析
步骤 1：求一阶偏导数并令其为零
对函数 $f(x,y)= x^3 + y^3 - 6xy$ 求一阶偏导数，得到：
\[ f_x' = 3x^2 - 6y = 0 \]
\[ f_y' = 3y^2 - 6x = 0 \]
解这个方程组，得到驻点 $(0,0)$ 和 $(2,2)$。
步骤 2：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx}'' = 6x \]
\[ f_{xy}'' = -6 \]
\[ f_{yy}'' = 6y \]
步骤 3：判断驻点的性质
在 $(0,0)$ 处，Hessian 矩阵行列式为：
\[ \det(H) = f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2 = 6x \cdot 6y - (-6)^2 = 36xy - 36 \]
代入 $(0,0)$，得到 $\det(H) = -36 < 0$，说明 $(0,0)$ 不是极值点。
在 $(2,2)$ 处，Hessian 矩阵行列式为：
\[ \det(H) = 6 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 2 - (-6)^2 = 144 - 36 = 108 > 0 \]
且 $f_{xx}'' = 6 \cdot 2 = 12 > 0$，说明 $(2,2)$ 是极小值点。
步骤 4：计算极小值
计算极小值：
\[ f(2,2) = 2^3 + 2^3 - 6 \cdot 2 \cdot 2 = 8 + 8 - 24 = -8 \]
对函数 $f(x,y)= x^3 + y^3 - 6xy$ 求一阶偏导数，得到：
\[ f_x' = 3x^2 - 6y = 0 \]
\[ f_y' = 3y^2 - 6x = 0 \]
解这个方程组，得到驻点 $(0,0)$ 和 $(2,2)$。
步骤 2：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx}'' = 6x \]
\[ f_{xy}'' = -6 \]
\[ f_{yy}'' = 6y \]
步骤 3：判断驻点的性质
在 $(0,0)$ 处，Hessian 矩阵行列式为：
\[ \det(H) = f_{xx}''f_{yy}'' - (f_{xy}'')^2 = 6x \cdot 6y - (-6)^2 = 36xy - 36 \]
代入 $(0,0)$，得到 $\det(H) = -36 < 0$，说明 $(0,0)$ 不是极值点。
在 $(2,2)$ 处，Hessian 矩阵行列式为：
\[ \det(H) = 6 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 2 - (-6)^2 = 144 - 36 = 108 > 0 \]
且 $f_{xx}'' = 6 \cdot 2 = 12 > 0$，说明 $(2,2)$ 是极小值点。
步骤 4：计算极小值
计算极小值：
\[ f(2,2) = 2^3 + 2^3 - 6 \cdot 2 \cdot 2 = 8 + 8 - 24 = -8 \]