题目

盒中装有3个黑球,2个白球,现从中任取4个球,用X表示取到的黑球-|||-的个数,用Y表示取到的白球的个数,求(X,Y)的概率分布.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查超几何分布的应用，以及联合概率分布的求解方法。
解题思路：

  1. 明确盒中球的总数及颜色分布，确定可能的取法组合；
  2. 根据取球总数和颜色限制，列出所有可能的$(X,Y)$组合；
  3. 计算每种组合的组合数，再求概率；
  4. 验证所有概率之和是否为1。
    关键点：
  • X和Y必须满足$X + Y = 4$，且$X \leq 3$（黑球总数），$Y \leq 2$（白球总数）；
  • 使用组合数公式计算每种情况的可能性。

步骤1：确定可能的$(X,Y)$组合

盒中共有3个黑球和2个白球，任取4个球。

  • 若取2个白球（Y=2），则黑球数$X = 4 - 2 = 2$，此时组合为$(2,2)$；
  • 若取1个白球（Y=1），则黑球数$X = 4 - 1 = 3$，此时组合为$(3,1)$；
  • 若取0个白球（Y=0），则需取4个黑球，但盒中只有3个黑球，不可能。

因此，可能的组合只有$(2,2)$和$(3,1)$。

步骤2：计算组合数

  • 组合总数：从5个球中取4个，共有$\mathrm{C}_5^4 = 5$种可能；
  • $(2,2)$的组合数：从3个黑球中取2个，从2个白球中取2个，即$\mathrm{C}_3^2 \cdot \mathrm{C}_2^2 = 3 \cdot 1 = 3$；
  • $(3,1)$的组合数：从3个黑球中取3个，从2个白球中取1个，即$\mathrm{C}_3^3 \cdot \mathrm{C}_2^1 = 1 \cdot 2 = 2$。

步骤3：计算概率

  • $P(X=2,Y=2) = \dfrac{3}{5}$；
  • $P(X=3,Y=1) = \dfrac{2}{5}$；
  • 其他组合概率为0。