(2)lim_(xto+infty)(e^x)/((1+frac(1){x))^x^(2)}·

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数和自然对数展开的应用。关键在于处理分母$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$的渐进行为。

解题思路：

1. 识别分母的结构：分母可视为$\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^x$，当$x \to +\infty$时，$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \approx e$，但需更精确的展开。
2. 自然对数转换：通过取对数将分母转化为多项式形式，利用泰勒展开近似计算。
3. 化简极限表达式：将分子和分母的指数部分对比，得出最终结果。

破题关键：利用泰勒展开对$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$进行二阶近似，从而精确计算分母的渐进行为。

设原极限为$L = \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}$，步骤如下：

步骤1：分析分母的对数形式

令分母为$y = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$，取自然对数得：
$\ln y = x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$

步骤2：泰勒展开近似

当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x}$很小，展开$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$：
$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2}$

步骤3：代入并化简

将展开式代入$\ln y$：
$\ln y \approx x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} \right) = x - \frac{1}{2}$

步骤4：还原分母表达式

对$\ln y$取指数得：
$y \approx e^{x - \frac{1}{2}} = \frac{e^x}{\sqrt{e}}$

步骤5：计算原极限

原式化简为：
$L = \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{\frac{e^x}{\sqrt{e}}} = \lim_{x\to+\infty} \sqrt{e} = \sqrt{e}$