【题目】-|||-计算下列定积分:-|||-(12) (int )_(1)^4dfrac (dx)(1+sqrt {x)};

考查要点：本题主要考查定积分的换元法应用，以及分式积分的处理技巧。
解题核心思路：通过变量代换简化被积函数，将复杂的根号表达式转化为有理分式，进而拆分求解。
破题关键点：

1. 选择合适的代换变量：令 $u = \sqrt{x}$，将根号消去；
2. 正确转换积分上下限：当 $x=1$ 时 $u=1$，当 $x=4$ 时 $u=2$；
3. 拆分分式：将 $\frac{2u}{1+u}$ 拆分为易积分的形式，如 $2 - \frac{2}{1+u}$。

步骤1：变量代换
令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，从而 $dx = 2u \, du$。
积分上下限转换为：

• 当 $x=1$ 时，$u=1$；
• 当 $x=4$ 时，$u=2$。

原积分变为：
$\int_{1}^{4} \frac{dx}{1+\sqrt{x}} = \int_{1}^{2} \frac{2u \, du}{1+u}$

步骤2：拆分分式
将分子 $2u$ 拆分为与分母相关的表达式：
$\frac{2u}{1+u} = 2 - \frac{2}{1+u}$

步骤3：分项积分
对拆分后的表达式逐项积分：
$\int_{1}^{2} \left( 2 - \frac{2}{1+u} \right) du = \int_{1}^{2} 2 \, du - \int_{1}^{2} \frac{2}{1+u} \, du$

步骤4：计算各积分

1. 第一项积分：
   $\int_{1}^{2} 2 \, du = 2u \Big|_{1}^{2} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 2$

2. 第二项积分：
   $\int_{1}^{2} \frac{2}{1+u} \, du = 2 \ln|1+u| \Big|_{1}^{2} = 2 \ln3 - 2 \ln2 = 2 \ln\frac{3}{2}$

步骤5：合并结果
将两部分结果相减：
$2 - \left( 2 \ln\frac{3}{2} \right) = 2 - 2 \ln3 + 2 \ln2 = 2 + 2 \ln\frac{2}{3}$