【题目】-|||-计算下列定积分:-|||-(12) (int )_(1)^4dfrac (dx)(1+sqrt {x)};

步骤 1：换元
令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u\,du$。
步骤 2：代入换元
将 $u = \sqrt{x}$ 和 $dx = 2u\,du$ 代入原积分，得到
$$
\int_{1}^{4} \frac{dx}{1 + \sqrt{x}} = \int_{1}^{2} \frac{2u\,du}{1 + u} = 2\int_{1}^{2} \frac{u\,du}{1 + u}。
$$
步骤 3：分部积分
将 $\frac{u}{1 + u}$ 分解为 $1 - \frac{1}{1 + u}$，得到
$$
2\int_{1}^{2} \frac{u\,du}{1 + u} = 2\int_{1}^{2} \left(1 - \frac{1}{1 + u}\right)du = 2\int_{1}^{2} du - 2\int_{1}^{2} \frac{du}{1 + u}。
$$
步骤 4：计算积分
计算两个积分，得到
$$
2\int_{1}^{2} du - 2\int_{1}^{2} \frac{du}{1 + u} = 2[u]_{1}^{2} - 2[\ln(1 + u)]_{1}^{2} = 2(2 - 1) - 2(\ln 3 - \ln 2) = 2 - 2\ln\frac{3}{2}。
$$