5 判断 (2分) 设随机变量X_(1),X_(2),...,X_(n),...相互独立，且X_(i)sim U(2,4)(sim i=1,2,...),则lim_(ntoinfty)p((sum_(i=1)^nX_(i)-3n)/(sqrt(frac(pi){3))}leq0)=0.5A. ×B. √

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及对均匀分布期望、方差的理解。

解题核心思路：

1. 确定分布参数：根据均匀分布$U(2,4)$，计算期望和方差。
2. 应用中心极限定理：将和的标准化形式与标准正态分布联系起来。
3. 分析分母差异：对比题目中的分母$\sqrt{\frac{\pi}{3}}$与中心极限定理中的正确分母$\sqrt{\frac{n}{3}}$，通过变量变形判断极限概率。

破题关键点：

• 正确标准化形式：中心极限定理要求标准化变量为$\frac{S_n - E(S_n)}{\sqrt{Var(S_n)}}$，需注意分母应为$\sqrt{n}$量级。
• 极限变形：通过变量变形，将题目中的表达式转化为标准正态分布的形式，从而判断概率值。

步骤1：计算期望与方差

• 均匀分布$U(2,4)$的期望：
  $E(X_i) = \frac{2+4}{2} = 3$
• 方差：
  $Var(X_i) = \frac{(4-2)^2}{12} = \frac{1}{3}$

步骤2：应用中心极限定理

• 和的期望与方差：
  $E(S_n) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = 3n$
  $Var(S_n) = \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) = \frac{n}{3}$
• 标准化形式：
  $\frac{S_n - 3n}{\sqrt{\frac{n}{3}}} \xrightarrow{d} N(0,1) \quad (n \to \infty)$

步骤3：分析题目中的表达式

• 题目中的分母：$\sqrt{\frac{\pi}{3}}$是常数，而正确分母应为$\sqrt{\frac{n}{3}}$。
• 变形表达式：
  $\frac{S_n - 3n}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} = \sqrt{\frac{n}{\pi}} \cdot \frac{S_n - 3n}{\sqrt{\frac{n}{3}}}$
• 极限分析：
  当$n \to \infty$时，$\sqrt{\frac{n}{\pi}} \to \infty$，因此原式等价于$\sqrt{\frac{n}{\pi}} \cdot Z$（$Z \sim N(0,1)$）。此时：
  • 若$Z > 0$，则$\sqrt{\frac{n}{\pi}} \cdot Z \to +\infty$；
  • 若$Z < 0$，则$\sqrt{\frac{n}{\pi}} \cdot Z \to -\infty$；
  • 若$Z = 0$，概率为0。
    因此，原式$\leq 0$当且仅当$Z \leq 0$，概率为$0.5$。