题目
轻绳的一端系一个质量为m的小滑块另一端穿过光滑水平桌面上的小孔-用手拉着,开始时滑块以角速度-|||-绕A在半径为R的圆周上做圆周运动如图所示。若绳子与小孔之间,滑块与桌面之间的摩擦均可忽略,则当拉-|||-力逐渐减小,使滑块做圆周运动的半径逐渐增加到 3R/2 时,滑块动能的增量为()。-|||-A m-|||-F-|||-(4.0分)-|||-A. -dfrac (1)(4)(m)^2(R)^2-|||-B. dfrac (1)(4)m(o)^2(R)^2-|||-C. -dfrac (5)(18)(m)^2(R)^2-|||-D. -dfrac (5)(9)(m)^2(R)^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定初始条件
滑块以角速度 $\omega$ 绕A在半径为R的圆周上做圆周运动，其线速度 $v_1 = \omega R$。
步骤 2：应用角动量守恒定律
当滑块的运动半径增加到 $3R/2$ 时，由于绳子与小孔之间、滑块与桌面之间的摩擦均可忽略，角动量守恒。设此时滑块的线速度为 $v_2$，则有：
$$
m v_1 R = m v_2 \frac{3R}{2}
$$
解得：
$$
v_2 = \frac{2}{3} \omega R
$$
步骤 3：计算动能增量
滑块的初始动能为：
$$
E_{k1} = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (\omega R)^2
$$
滑块的末动能为：
$$
E_{k2} = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{2}{3} \omega R\right)^2 = \frac{1}{2} m \frac{4}{9} \omega^2 R^2
$$
动能增量为：
$$
\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{1}{2} m \frac{4}{9} \omega^2 R^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 R^2 = -\frac{5}{18} m \omega^2 R^2
$$
滑块以角速度 $\omega$ 绕A在半径为R的圆周上做圆周运动，其线速度 $v_1 = \omega R$。
步骤 2：应用角动量守恒定律
当滑块的运动半径增加到 $3R/2$ 时，由于绳子与小孔之间、滑块与桌面之间的摩擦均可忽略，角动量守恒。设此时滑块的线速度为 $v_2$，则有：
$$
m v_1 R = m v_2 \frac{3R}{2}
$$
解得：
$$
v_2 = \frac{2}{3} \omega R
$$
步骤 3：计算动能增量
滑块的初始动能为：
$$
E_{k1} = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (\omega R)^2
$$
滑块的末动能为：
$$
E_{k2} = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{2}{3} \omega R\right)^2 = \frac{1}{2} m \frac{4}{9} \omega^2 R^2
$$
动能增量为：
$$
\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{1}{2} m \frac{4}{9} \omega^2 R^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 R^2 = -\frac{5}{18} m \omega^2 R^2
$$