3.设f(x)在x=a的某邻域有定义,则它在该点处可导的一个充分条件是: ( )A. lim_(h to infty)h[f(a+(1)/(h))-f(a)]存在B. lim_(h to 0)(f(a+2h)-f(a+h))/(h)存在C. lim_(h to 0)(f(a+h)-f(a-h))/(2h)存在D. lim_(h to 0)(f(a)-f(a-h))/(h)存在

本题考查函数在某点可导的定义以及充分条件的判断。解题的关键在于将各个选项与函数在点$x = a$处可导的定义式$f^\prime(a)=\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$进行对比分析。

选项A

已知$\lim\limits_{h \to \infty}h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f\left(a\right)\right]$，令$t = \frac{1}{h}$，当$h \to \infty$时，$t \to 0$，则原式可化为$\lim\limits_{t \to 0}\frac{f(a + t) - f(a)}{t}$。
但是，这里的极限过程是$t \to 0$，它只能说明函数在$x = a$处的右导数存在，不能保证左导数也存在，所以不能得出函数在$x = a$处可导，A选项错误。

选项B

对于$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f\left(a + 2h\right) - f\left(a + h\right)}{h}$，可将其变形为$\lim\limits_{h \to 0}\frac{[f(a + 2h) - f(a)] - [f(a + h) - f(a)]}{h}$。
$=\lim\limits_{h \to 0}\left[2\cdot\frac{f(a + 2h) - f(a)}{2h}-\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\right]$
即使这个极限存在，也不能说明$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$存在，即不能得出函数在$x = a$处可导，B选项错误。

选项C

$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f\left(a + h\right) - f\left(a - h\right)}{2h}$存在，只能说明函数在$x = a$处的左右导数的算术平均值存在，不能保证左右导数分别存在且相等，所以不能得出函数在$x = a$处可导，C选项错误。

选项D

对于$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f\left(a\right) - f\left(a - h\right)}{h}$，令$t = -h$，当$h \to 0$时，$t \to 0$，则原式可化为$\lim\limits_{t \to 0}\frac{f(a + t) - f(a)}{t}$，这正是函数$f(x)$在$x = a$处可导的定义式，所以当该极限存在时，函数$f(x)$在$x = a$处可导，D选项正确。