16 (2012,3题,4分)设a_(n)>0(n=1,2,...),S_(n)=a_(1)+a_(2)+...+a_(n),则数列S_{n)}有界是数列(a_{n)}收敛的A. 充分必要条件.B. 充分非必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分也非必要条件.

考查要点：本题主要考查正项数列收敛性与部分和有界性的关系，涉及单调有界定理和必要条件与充分条件的判断。

解题核心思路：

1. 正项数列的部分和数列$\{S_n\}$单调递增，若其有界，则必收敛（由单调有界定理）。
2. 若$\{S_n\}$收敛，则$a_n = S_n - S_{n-1}$必趋于$0$，即$\{a_n\}$收敛。
3. 反向不成立：$\{a_n\}$收敛（如$a_n = \frac{1}{n}$）时，$\{S_n\}$可能无界（如调和级数发散）。

破题关键：明确部分和有界是$\{a_n\}$收敛的充分但非必要条件。

步骤1：分析$\{S_n\}$有界与$\{a_n\}$收敛的关系

• 若$\{S_n\}$有界，则$\{S_n\}$单调递增且有上界，由单调有界定理，$\{S_n\}$收敛。
• 由$a_n = S_n - S_{n-1}$，当$n \to \infty$时，$a_n \to S - S = 0$，故$\{a_n\}$收敛。
  结论：$\{S_n\}$有界是$\{a_n\}$收敛的充分条件。

步骤2：判断是否为必要条件

• 若$\{a_n\}$收敛（如$a_n = \frac{1}{n}$），其部分和$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$（调和级数）无界。
  结论：$\{a_n\}$收敛时$\{S_n\}$可能无界，故$\{S_n\}$有界不是必要条件。

最终结论：$\{S_n\}$有界是$\{a_n\}$收敛的充分非必要条件，选B。