例2.6 （1）证明对任意正整数n，都有(1)/(n+1)<ln(1+(1)/(n))<(1)/(n)成立；（2）设a_(n)=1+(1)/(2)+...+(1)/(n)-ln n(n=1,2,...)，证明数列a_{n)}收敛。

我们来分两部分解决这个题目。

（1）证明对任意正整数 $n$，都有：

$\frac{1}{n+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$

思路分析：

这个不等式可以利用对数函数的积分性质或者泰勒展开来证明。我们采用积分法，利用自然对数函数的定义。

证明：

我们考虑自然对数函数的定义：

$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t} dt$

令 $x = 1 + \frac{1}{n}$，则有：

$\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \int_1^{1 + \frac{1}{n}} \frac{1}{t} dt$

我们来估计这个积分的值。

由于函数 $\frac{1}{t}$ 在区间 $[1, 1 + \frac{1}{n}]$ 上是递减函数，我们可以用积分的单调性来估计：

• 在这个区间上，$\frac{1}{t} \leq 1$，所以：
  $\int_1^{1 + \frac{1}{n}} \frac{1}{t} dt < \int_1^{1 + \frac{1}{n}} 1 dt = \frac{1}{n}$
  所以：
  $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$

• 同时，在这个区间上，$\frac{1}{t} \geq \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{n}{n+1}$，所以：
  $\int_1^{1 + \frac{1}{n}} \frac{1}{t} dt > \int_1^{1 + \frac{1}{n}} \frac{n}{n+1} dt = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1}$
  所以：
  $\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) > \frac{1}{n+1}$

因此，我们得到：

$\frac{1}{n+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$

（2）设 $a_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n$，证明数列 $\{a_n\}$ 收敛。

思路分析：

这是一个经典的数列，称为调和数减去自然对数，即：

$a_n = H_n - \ln n$

其中 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ 是第 $n$ 个调和数。

我们希望证明这个数列收敛，即极限存在。

证明：

我们考虑差值：

$a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n$

我们知道：

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + \varepsilon_n$

其中 $\gamma$ 是欧拉-马歇罗尼常数，$\varepsilon_n \to 0$ 当 $n \to \infty$。这个结论是调和数的经典渐近展开。

所以：

$a_n = \ln n + \gamma + \varepsilon_n - \ln n = \gamma + \varepsilon_n$

因此：

$\lim_{n \to \infty} a_n = \gamma$

所以数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $\gamma$。

更严格的证明（利用单调有界原理）：

我们也可以不依赖调和数的渐近公式，而是用单调有界原理来证明。

考虑：

$a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n$

我们考虑差值：

$a_n - a_{n+1} = \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\right) - \left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \ln(n+1)\right)$

$= -\frac{1}{n+1} + \ln(n+1) - \ln n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{1}{n+1}$

由（1）中我们已经证明了：

$\frac{1}{n+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$

所以：

$a_n - a_{n+1} > 0 \Rightarrow a_n > a_{n+1}$

即数列 $\{a_n\}$ 是单调递减的。

再来看下界。我们有：

$a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n > \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx - \ln n = \ln(n+1) - \ln n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) > 0$

所以 $a_n > 0$，即数列有下界。

因此，由单调有界原理，数列 $\{a_n\}$ 收敛。

最终答案：

（1）对任意正整数 $n$，都有：

$\frac{1}{n+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$

（2）数列 $\{a_n\}$ 收敛，收敛于欧拉-马歇罗尼常数 $\gamma$。

$\boxed{\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n\right) = \gamma}$