设随机变量X的分布律为X-2 .-1 1 2-|||-pk 0.1 0.2 0.3 0.4，求X-2 .-1 1 2-|||-pk 0.1 0.2 0.3 0.4，X-2 .-1 1 2-|||-pk 0.1 0.2 0.3 0.4.

考查要点：本题主要考查期望的计算，涉及随机变量函数的期望和线性性质的应用。

解题核心思路：

1. 直接计算法：对于$E\left(\dfrac{1}{X}\right)$，需先确定$\dfrac{1}{X}$的可能取值及其对应的概率，再按定义计算期望。
2. 线性性质：对于$E(X^2 + 5)$，可分解为$E(X^2) + 5$，其中$E(X^2)$通过计算$X^2$的期望得到。

破题关键点：

• 函数变换：将$\dfrac{1}{X}$视为新随机变量，明确其取值与原变量$X$的对应关系。
• 概率对应：$\dfrac{1}{X}$的每个取值对应原变量$X$的特定取值，概率直接继承原分布中的概率。
• 平方处理：$X^2$的取值可能合并原变量的正负对称点，需合并对应概率。

$E\left(\dfrac{1}{X}\right)$的计算

1. 确定$\dfrac{1}{X}$的取值与概率：

   • 当$X = -2$时，$\dfrac{1}{X} = -\dfrac{1}{2}$，概率为$0.1$；
   • 当$X = -1$时，$\dfrac{1}{X} = -1$，概率为$0.2$；
   • 当$X = 1$时，$\dfrac{1}{X} = 1$，概率为$0.3$；
   • 当$X = 2$时，$\dfrac{1}{X} = \dfrac{1}{2}$，概率为$0.4$。

2. 计算期望：
   $\begin{aligned} E\left(\dfrac{1}{X}\right) &= \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times 0.1 + (-1) \times 0.2 + 1 \times 0.3 + \dfrac{1}{2} \times 0.4 \\ &= -0.05 - 0.2 + 0.3 + 0.2 \\ &= 0.25. \end{aligned}$

$E(X^2 + 5)$的计算

1. 计算$X^2$的取值与概率：

   • $X^2 = 1$时，对应$X = -1$或$X = 1$，概率为$0.2 + 0.3 = 0.5$；
   • $X^2 = 4$时，对应$X = -2$或$X = 2$，概率为$0.1 + 0.4 = 0.5$。

2. 计算$E(X^2)$：
   $E(X^2) = 1 \times 0.5 + 4 \times 0.5 = 0.5 + 2 = 2.5.$

3. 利用线性性质：
   $E(X^2 + 5) = E(X^2) + 5 = 2.5 + 5 = 7.5.$