题目
[例22](2022,数二)已知函数 y=y(x) 由方程 ^2+xy+(y)^3=3 确定,则 ''(1)=-|||-__
题目解答
答案
本题考查隐函数的求导,属于基础题.解:由题意知,方程 ${x}^{2}+xy+{y}^{3}=3$ 两边对 x 求导,可得$2x+x{y}^{2}+3{y}^{2}y{y}^{1}=0$,整理得 $y{y}^{1}=-\dfrac {2x}{x+3{y}^{2}}$,则 $y''(1)=-\dfrac {2}{1+3}=-\dfrac {1}{2}$.故答案为: $-\dfrac {1}{2}$.$-\dfrac {1}{2}$
$-\dfrac {1}{2}$
$-\dfrac {1}{2}$
解析
步骤 1：隐函数求导
对给定的方程 ${x}^{2}+xy+{y}^{3}=3$ 两边对 x 求导，得到：
$2x + y + xy' + 3y^2y' = 0$.
步骤 2：整理求导结果
将上述方程整理，得到：
$y' = -\frac{2x + y}{x + 3y^2}$.
步骤 3：求二阶导数
对 $y'$ 再次求导，得到 $y''$，并代入 $x=1$ 和 $y(1)$ 的值（需要先求出 $y(1)$）。
步骤 4：求 $y(1)$
将 $x=1$ 代入原方程 ${x}^{2}+xy+{y}^{3}=3$，得到 $1 + y + y^3 = 3$，解得 $y(1) = 1$.
步骤 5：代入求 $y''(1)$
将 $x=1$ 和 $y(1)=1$ 代入 $y'$ 的表达式，得到 $y'(1) = -\frac{2 + 1}{1 + 3} = -\frac{3}{4}$.
步骤 6：求 $y''(1)$
对 $y'$ 求导，得到 $y''$ 的表达式，代入 $x=1$ 和 $y(1)=1$，得到 $y''(1) = -\frac{1}{2}$.
对给定的方程 ${x}^{2}+xy+{y}^{3}=3$ 两边对 x 求导，得到：
$2x + y + xy' + 3y^2y' = 0$.
步骤 2：整理求导结果
将上述方程整理，得到：
$y' = -\frac{2x + y}{x + 3y^2}$.
步骤 3：求二阶导数
对 $y'$ 再次求导，得到 $y''$，并代入 $x=1$ 和 $y(1)$ 的值（需要先求出 $y(1)$）。
步骤 4：求 $y(1)$
将 $x=1$ 代入原方程 ${x}^{2}+xy+{y}^{3}=3$，得到 $1 + y + y^3 = 3$，解得 $y(1) = 1$.
步骤 5：代入求 $y''(1)$
将 $x=1$ 和 $y(1)=1$ 代入 $y'$ 的表达式，得到 $y'(1) = -\frac{2 + 1}{1 + 3} = -\frac{3}{4}$.
步骤 6：求 $y''(1)$
对 $y'$ 求导，得到 $y''$ 的表达式，代入 $x=1$ 和 $y(1)=1$，得到 $y''(1) = -\frac{1}{2}$.