1.计算下列二重积分:-|||-(3) iint ((x)^3+3(x)^2y+(y)^3)dx, 其中 = (x,y)|0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 ;

步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 是由 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 和 $0 \leqslant y \leqslant 1$ 定义的单位正方形。

步骤 2：设置二重积分
二重积分 $\iint ({x}^{3}+3{x}^{2}y+{y}^{3})d\sigma$ 可以表示为 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ({x}^{3}+3{x}^{2}y+{y}^{3}) dx dy$。

步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分 $\int_{0}^{1} ({x}^{3}+3{x}^{2}y+{y}^{3}) dx$。
\[
\int_{0}^{1} ({x}^{3}+3{x}^{2}y+{y}^{3}) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3y + y^3x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + y + y^3
\]

步骤 4：计算外层积分
然后计算外层积分 $\int_{0}^{1} (\frac{1}{4} + y + y^3) dy$。
\[
\int_{0}^{1} (\frac{1}{4} + y + y^3) dy = \left[ \frac{y}{4} + \frac{y^2}{2} + \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1
\]