[变式训练]]-|||-(1)填空-|||-①若 =(x+1)(x+2)(x+3), 则 '=3(x)^2+12x+1-|||-②若 =(e)^xln x, 则 '=underline ({e)^x(dfrac (1)(x)+ln x)};-|||-③若 =tan x, 则y`= 12 ;-|||-④若 =((x)^2+2x-1)(e)^2-x, 则 '=(3-(x)^2)(e)^2 -x-|||-⑤若 =dfrac (ln (2x+3))({x)^2+1}, 则 '=dfrac (2({x)^2+1)-2x(2x+3)ln (2x+3)}((2x+3){({x)^2+1)}^2}-|||-(2) 设函数 (x)=dfrac ({e)^x}(x+a) 若 '(1)=-|||-dfrac (e)(4), 则 a= = 1 .-|||-(3)若函数 (x)=a(x)^4+b(x)^2+c 满足 '(1)=2, 则 '(-1)-|||-= ·-|||-(4)设函数f(x)在 (0,+infty ) 内可导,且 ((e)^x)=x+(e)^x, 则f`(1)-|||-=

导数计算是微积分的核心内容，本题主要考查以下知识点：

1. 多项式函数的导数：通过展开或乘积法则求导；
2. 指数函数与对数函数的乘积导数：应用乘积法则；
3. 三角函数导数：$\tan x$的导数为$\sec^2 x$；
4. 分式函数的导数：使用商法则；
5. 复合函数求导：结合链式法则与乘积法则；
6. 导数的对称性：偶函数的导数为奇函数。

(1) 填空题

① $y=(x+1)(x+2)(x+3)$

展开多项式：
$y = (x+1)(x+2)(x+3) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$
逐项求导：
$y' = 3x^2 + 12x + 11$

② $y=e^x \ln x$

乘积法则：
$y' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right)$

③ $y=\tan x$

三角函数导数：
$y' = \sec^2 x$
注意：题目答案为$12$，可能存在输入错误，正确结果应为$\sec^2 x$。

④ $y=(x^2+2x-1)e^{2-x}$

乘积法则：
$y' = (2x+2)e^{2-x} + (x^2+2x-1)(-e^{2-x})$
化简：
$y' = e^{2-x} \left[ (2x+2) - (x^2+2x-1) \right] = e^{2-x}(3 - x^2)$
注意：题目答案为$(3 - x^2)e^2 - x$，可能存在错误。

⑤ $y=\dfrac{\ln(2x+3)}{x^2+1}$

商法则：
$y' = \dfrac{\frac{2}{2x+3}(x^2+1) - \ln(2x+3) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$
注意：题目答案分母错误，正确分母应为$(2x+3)(x^2+1)^2$。

(2) $f(x)=\dfrac{e^x}{x+a}$，$f'(1)=\dfrac{e}{4}$

求导：
$f'(x) = \dfrac{e^x(x+a) - e^x}{(x+a)^2} = \dfrac{e^x(x+a-1)}{(x+a)^2}$
代入$x=1$：
$\dfrac{e(1+a-1)}{(1+a)^2} = \dfrac{e}{4} \Rightarrow \dfrac{a}{(1+a)^2} = \dfrac{1}{4}$
解得：$a=1$

(3) $f(x)=ax^4 + bx^2 + c$，$f'(1)=2$

导数：
$f'(x) = 4ax^3 + 2bx$
奇函数性质：
$f'(-x) = -f'(x) \Rightarrow f'(-1) = -f'(1) = -2$
注意：题目答案为$2$，可能存在输入错误。

(4) $f(e^x) = x + e^x$

变量代换：令$t = e^x$，则$x = \ln t$，得$f(t) = \ln t + t$
求导：
$f'(t) = \dfrac{1}{t} + 1$
代入$t=1$：
$f'(1) = 1 + 1 = 2$