题目
【题目】设a1,a2,···,an是齐次线性方程组 overrightarrow (x)=overrightarrow (0)-|||-的基础解系,向量β满足 neq overrightarrow (0), 证明:向量组 (alpha )_(1)+beta -|||-(alpha )_(2)+beta ,... ,(alpha )_(k)+beta 线性无关.
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：假设线性组合
设 ${t}_{1}({\alpha }_{1}+\beta )+{t}_{2}({\alpha }_{2}+\beta )+\cdots +{t}_{k}({\alpha }_{k}+\beta )=\overrightarrow {0}$ , 其中 ${t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{k}$ 是待定系数.
步骤 2：展开并整理
展开上式,得到 ${t}_{1}{\alpha }_{1}+{t}_{2}{\alpha }_{2}+\cdots +{t}_{k}{\alpha }_{k}+({t}_{1}+{t}_{2}+\cdots +{t}_{k})\beta =\overrightarrow {0}$ .
步骤 3：利用齐次线性方程组的性质
由于 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{k}$ 是齐次线性方程组 $A\overrightarrow {x}=\overrightarrow {0}$ 的基础解系, 所以 $A{\alpha }_{i}=\overrightarrow {0}$ 对于 $i=1,2,\cdots ,k$ 成立.
步骤 4：左乘矩阵A
对上式左乘矩阵A, 得到 ${t}_{1}A{\alpha }_{1}+{t}_{2}A{\alpha }_{2}+\cdots +{t}_{k}A{\alpha }_{k}+({t}_{1}+{t}_{2}+\cdots +{t}_{k})A\beta =\overrightarrow {0}$ .
步骤 5：利用基础解系的性质
由于 $A{\alpha }_{i}=\overrightarrow {0}$ , 所以上式简化为 $({t}_{1}+{t}_{2}+\cdots +{t}_{k})A\beta =\overrightarrow {0}$ .
步骤 6：利用 $A\beta \neq \overrightarrow {0}$ 的条件
由于 $A\beta \neq \overrightarrow {0}$ , 所以 ${t}_{1}+{t}_{2}+\cdots +{t}_{k}=0$ .
步骤 7：回到原方程
回到原方程 ${t}_{1}{\alpha }_{1}+{t}_{2}{\alpha }_{2}+\cdots +{t}_{k}{\alpha }_{k}=\overrightarrow {0}$ , 由于 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{k}$ 是线性无关的, 所以 ${t}_{1}={t}_{2}=\cdots ={t}_{k}=0$ .
步骤 8：结论
因此,向量组 ${\alpha }_{1}+\beta $ ,${\alpha }_{2}+\beta $ ,..., ${\alpha }_{k}+\beta $ 线性无关.
设 ${t}_{1}({\alpha }_{1}+\beta )+{t}_{2}({\alpha }_{2}+\beta )+\cdots +{t}_{k}({\alpha }_{k}+\beta )=\overrightarrow {0}$ , 其中 ${t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{k}$ 是待定系数.
步骤 2：展开并整理
展开上式,得到 ${t}_{1}{\alpha }_{1}+{t}_{2}{\alpha }_{2}+\cdots +{t}_{k}{\alpha }_{k}+({t}_{1}+{t}_{2}+\cdots +{t}_{k})\beta =\overrightarrow {0}$ .
步骤 3：利用齐次线性方程组的性质
由于 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{k}$ 是齐次线性方程组 $A\overrightarrow {x}=\overrightarrow {0}$ 的基础解系, 所以 $A{\alpha }_{i}=\overrightarrow {0}$ 对于 $i=1,2,\cdots ,k$ 成立.
步骤 4：左乘矩阵A
对上式左乘矩阵A, 得到 ${t}_{1}A{\alpha }_{1}+{t}_{2}A{\alpha }_{2}+\cdots +{t}_{k}A{\alpha }_{k}+({t}_{1}+{t}_{2}+\cdots +{t}_{k})A\beta =\overrightarrow {0}$ .
步骤 5：利用基础解系的性质
由于 $A{\alpha }_{i}=\overrightarrow {0}$ , 所以上式简化为 $({t}_{1}+{t}_{2}+\cdots +{t}_{k})A\beta =\overrightarrow {0}$ .
步骤 6：利用 $A\beta \neq \overrightarrow {0}$ 的条件
由于 $A\beta \neq \overrightarrow {0}$ , 所以 ${t}_{1}+{t}_{2}+\cdots +{t}_{k}=0$ .
步骤 7：回到原方程
回到原方程 ${t}_{1}{\alpha }_{1}+{t}_{2}{\alpha }_{2}+\cdots +{t}_{k}{\alpha }_{k}=\overrightarrow {0}$ , 由于 ${\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{k}$ 是线性无关的, 所以 ${t}_{1}={t}_{2}=\cdots ={t}_{k}=0$ .
步骤 8：结论
因此,向量组 ${\alpha }_{1}+\beta $ ,${\alpha }_{2}+\beta $ ,..., ${\alpha }_{k}+\beta $ 线性无关.