(4)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则 X=E({X)^2)} = __ .

考查要点：本题主要考查泊松分布的性质及其概率计算，涉及期望、方差的计算以及二阶矩的应用。

解题核心思路：

1. 确定泊松分布的参数：题目中明确给出参数为1，即$\lambda=1$。
2. 计算二阶矩$E(X^2)$：利用泊松分布的方差公式$Var(X)=\lambda$，结合方差与二阶矩的关系$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，推导出$E(X^2)$。
3. 代入泊松分布概率公式：将$E(X^2)$的值代入，计算对应的概率$P\{X=E(X^2)\}$。

破题关键点：

• 牢记泊松分布的期望与方差均为$\lambda$。
• 正确应用方差公式推导二阶矩。
• 准确代入泊松分布的概率公式。

步骤1：计算期望$E(X)$和方差$Var(X)$
泊松分布的参数为$\lambda=1$，因此：
$E(X) = \lambda = 1, \quad Var(X) = \lambda = 1.$

步骤2：计算二阶矩$E(X^2)$
根据方差公式：
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \implies E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = 1 + 1^2 = 2.$

步骤3：计算概率$P\{X=2\}$
泊松分布的概率质量函数为：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.$
将$\lambda=1$和$k=2$代入：
$P(X=2) = \frac{1^2 e^{-1}}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} = \frac{1}{2e}.$