题目
设函数y=(（x+5）^2（3x-1）^frac(1)/(3))(（x+2）^5sqrt(x-1))（x＞1），求y'．
设函数y=$\frac{（x+5）^{2}（3x-1）^{\frac{1}{3}}}{（x+2）^{5}\sqrt{x-1}}$（x＞1），求y'．
题目解答
答案
解：因为y=$\frac{（x+5）^{2}（3x-1）^{\frac{1}{3}}}{（x+2）^{5}\sqrt{x-1}}$（x＞1），
所以lny=2ln（x+5）+$\frac{1}{3}$ln（3x-1）-5ln（x+2）-$\frac{1}{2}$ln（x-1），
上式两边对x求导得，$\frac{y′}{y}$=$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$，
所以y'=[$\frac{（x+5）^{2}（3x-1）^{\frac{1}{3}}}{（x+2）^{5}\sqrt{x-1}}$][$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$]．
所以lny=2ln（x+5）+$\frac{1}{3}$ln（3x-1）-5ln（x+2）-$\frac{1}{2}$ln（x-1），
上式两边对x求导得，$\frac{y′}{y}$=$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$，
所以y'=[$\frac{（x+5）^{2}（3x-1）^{\frac{1}{3}}}{（x+2）^{5}\sqrt{x-1}}$][$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$]．
解析
步骤 1：取对数
对函数y=$\frac{（x+5）^{2}（3x-1）^{\frac{1}{3}}}{（x+2）^{5}\sqrt{x-1}}$取自然对数，得到lny=2ln（x+5）+$\frac{1}{3}$ln（3x-1）-5ln（x+2）-$\frac{1}{2}$ln（x-1）。
步骤 2：对lny求导
对lny=2ln（x+5）+$\frac{1}{3}$ln（3x-1）-5ln（x+2）-$\frac{1}{2}$ln（x-1）两边对x求导，得到$\frac{y′}{y}$=$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$。
步骤 3：求y'
将$\frac{y′}{y}$=$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$乘以y，得到y'=[$\frac{（x+5）^{2}（3x-1）^{\frac{1}{3}}}{（x+2）^{5}\sqrt{x-1}}$][$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$]。
对函数y=$\frac{（x+5）^{2}（3x-1）^{\frac{1}{3}}}{（x+2）^{5}\sqrt{x-1}}$取自然对数，得到lny=2ln（x+5）+$\frac{1}{3}$ln（3x-1）-5ln（x+2）-$\frac{1}{2}$ln（x-1）。
步骤 2：对lny求导
对lny=2ln（x+5）+$\frac{1}{3}$ln（3x-1）-5ln（x+2）-$\frac{1}{2}$ln（x-1）两边对x求导，得到$\frac{y′}{y}$=$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$。
步骤 3：求y'
将$\frac{y′}{y}$=$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$乘以y，得到y'=[$\frac{（x+5）^{2}（3x-1）^{\frac{1}{3}}}{（x+2）^{5}\sqrt{x-1}}$][$\frac{2}{x+5}$+$\frac{1}{3x-1}$-$\frac{5}{x+2}$-$\frac{1}{2（x-1）}$]。