题目
10.(I)证明:方程 ^n+nx=2 存在唯一的正实根an(其中n为正整数);-|||-(Ⅱ)计算 lim ((1+{a)_(n))}^-2n
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = x^n + nx - 2$，其中 $n$ 为正整数。
步骤 2：验证函数在区间 $(0, 1)$ 内存在零点
计算 $f(0) = -2 < 0$，$f(1) = 1 + n - 2 = n - 1 \geq 0$。根据介值定理，存在 $a_n \in (0, 1)$ 使得 $f(a_n) = 0$。
步骤 3：证明函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递增
计算导数 $f'(x) = nx^{n-1} + n > 0$，因此 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。这意味着方程 $x^n + nx = 2$ 在 $(0, +\infty)$ 上有唯一的正实根 $a_n$。
步骤 4：计算 $\lim_{n \to \infty} {(1+{a}_{n})}^{-2n}$
首先，我们注意到 $a_n$ 是方程 $x^n + nx = 2$ 的根，因此 $a_n^n + na_n = 2$。当 $n$ 很大时，$a_n$ 接近于 $0$，因为 $a_n^n$ 会变得非常小。我们可以通过 $a_n^n + na_n = 2$ 来估计 $a_n$ 的大小。当 $n$ 很大时，$a_n^n$ 可以忽略不计，因此 $na_n \approx 2$，即 $a_n \approx \frac{2}{n}$。因此，$\lim_{n \to \infty} {(1+{a}_{n})}^{-2n} = \lim_{n \to \infty} {(1+\frac{2}{n})}^{-2n} = e^{-4}$。
定义函数 $f(x) = x^n + nx - 2$，其中 $n$ 为正整数。
步骤 2：验证函数在区间 $(0, 1)$ 内存在零点
计算 $f(0) = -2 < 0$，$f(1) = 1 + n - 2 = n - 1 \geq 0$。根据介值定理，存在 $a_n \in (0, 1)$ 使得 $f(a_n) = 0$。
步骤 3：证明函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递增
计算导数 $f'(x) = nx^{n-1} + n > 0$，因此 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。这意味着方程 $x^n + nx = 2$ 在 $(0, +\infty)$ 上有唯一的正实根 $a_n$。
步骤 4：计算 $\lim_{n \to \infty} {(1+{a}_{n})}^{-2n}$
首先，我们注意到 $a_n$ 是方程 $x^n + nx = 2$ 的根，因此 $a_n^n + na_n = 2$。当 $n$ 很大时，$a_n$ 接近于 $0$，因为 $a_n^n$ 会变得非常小。我们可以通过 $a_n^n + na_n = 2$ 来估计 $a_n$ 的大小。当 $n$ 很大时，$a_n^n$ 可以忽略不计，因此 $na_n \approx 2$，即 $a_n \approx \frac{2}{n}$。因此，$\lim_{n \to \infty} {(1+{a}_{n})}^{-2n} = \lim_{n \to \infty} {(1+\frac{2}{n})}^{-2n} = e^{-4}$。