3、单选 设X~N(-3,2)，则密度函数f(x)=（）。A. (1)/(sqrt(2pi))e^-((x+3)^(2)/(4)),xin(-infty,+infty)B. (1)/(2sqrt(pi))e^-((x+3)^(2)/(4)),xin(-infty,+infty)C. (1)/(2sqrt(2pi))e^-((x+3)^(2)/(4)),xin(-infty,+infty)D. (1)/(sqrt(2pi))e^-(x^(2)/(2)),xin(-infty,+infty)
A. $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x+3)^{2}}{4}},x\in(-\infty,+\infty)$
B. $\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(x+3)^{2}}{4}},x\in(-\infty,+\infty)$
C. $\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x+3)^{2}}{4}},x\in(-\infty,+\infty)$
D. $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}},x\in(-\infty,+\infty)$
题目解答
答案
解析
本题考查正态分布的概率密度函数公式。解题思路是先明确正态分布概率密度函数的一般形式，再根据题目所给的正态分布参数，代入公式进行计算。
若随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差，则其概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}},x\in(-\infty,+\infty)$。
已知$X\sim N(-3,2)$，则可得$\mu = - 3$，$\sigma^{2}=2$。
-
首先求$\sigma$的值：
因为$\sigma^{2}=2$，且$\sigma\gt0$，所以$\sigma = \sqrt{2}$。 -
然后将$\mu = - 3$，$\sigma = \sqrt{2}$代入概率密度函数公式$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$中：
- 对于$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$，将$\sigma = \sqrt{2}$代入可得：$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$。
- 对于$e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，将$\mu = - 3$，$\sigma^{2}=2$代入可得：$e^{-\frac{(x + 3)^{2}}{2\times2}}=e^{-\frac{(x + 3)^{2}}{4}}$。
所以$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(x + 3)^{2}}{4}},x\in(-\infty,+\infty)$。