题目
[题目]设C为曲线 ,-|||-则 {int )_(c)(x)^2ydy-(y)^2xdx= ()-|||-A. dfrac (1)(2)(int )_(0)^dfrac (pi {2)}dt-|||-B. (int )_(0)^dfrac (pi {2)}((cos )^2t-(sin )^2t)dt-|||-C. (int )_(0)^dfrac (pi {2)}[ cos tsqrt (sin t)-sin tcos t] dt-|||-.-|||-(int )_(0)^dfrac (pi {2)}cos tsqrt (sin t)cdot dfrac (dt)(2sqrt {sin t)}-(int )_(0)^dfrac (pi {2)}sin tsqrt (cos t)cdot dfrac (dt)(2sqrt {cos t)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线C的参数方程
曲线C的参数方程为 $x=\sqrt {\cos t}$，$0\leqslant t\leqslant \dfrac {\pi }{2}$。由于曲线C是关于t的函数，我们需要找到y关于t的表达式。由于题目中没有直接给出y关于t的表达式，我们假设y也是关于t的函数，即 $y=f(t)$。
步骤 2：计算dx和dy
根据曲线C的参数方程，我们有 $dx=\dfrac {-\sin t}{2\sqrt {\cos t}}dt$ 和 $dy=\dfrac {\cos t}{2\sqrt {\sin t}}dt$。
步骤 3：代入积分表达式
将 $x=\sqrt {\cos t}$，$y=f(t)$，$dx=\dfrac {-\sin t}{2\sqrt {\cos t}}dt$ 和 $dy=\dfrac {\cos t}{2\sqrt {\sin t}}dt$ 代入 ${\int }_{c}{x}^{2}ydy-{y}^{2}xdx$，得到
${\int }_{c}{x}^{2}ydy-{y}^{2}xdx={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}(\cos t\sqrt {\sin t}\cdot \dfrac {\cos t}{2\sqrt {\sin t}}-\sin t\sqrt {\cos t}\cdot \dfrac {-\sin t}{2\sqrt {\cos t}})dt$。
步骤 4：化简积分表达式
化简上述积分表达式，得到
${\int }_{c}{x}^{2}ydy-{y}^{2}xdx={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}(\dfrac {\cos^2 t}{2}+\dfrac {\sin^2 t}{2})dt$。
步骤 5：计算积分
计算上述积分，得到
${\int }_{c}{x}^{2}ydy-{y}^{2}xdx=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}dt$。
曲线C的参数方程为 $x=\sqrt {\cos t}$，$0\leqslant t\leqslant \dfrac {\pi }{2}$。由于曲线C是关于t的函数，我们需要找到y关于t的表达式。由于题目中没有直接给出y关于t的表达式，我们假设y也是关于t的函数，即 $y=f(t)$。
步骤 2：计算dx和dy
根据曲线C的参数方程，我们有 $dx=\dfrac {-\sin t}{2\sqrt {\cos t}}dt$ 和 $dy=\dfrac {\cos t}{2\sqrt {\sin t}}dt$。
步骤 3：代入积分表达式
将 $x=\sqrt {\cos t}$，$y=f(t)$，$dx=\dfrac {-\sin t}{2\sqrt {\cos t}}dt$ 和 $dy=\dfrac {\cos t}{2\sqrt {\sin t}}dt$ 代入 ${\int }_{c}{x}^{2}ydy-{y}^{2}xdx$，得到
${\int }_{c}{x}^{2}ydy-{y}^{2}xdx={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}(\cos t\sqrt {\sin t}\cdot \dfrac {\cos t}{2\sqrt {\sin t}}-\sin t\sqrt {\cos t}\cdot \dfrac {-\sin t}{2\sqrt {\cos t}})dt$。
步骤 4：化简积分表达式
化简上述积分表达式，得到
${\int }_{c}{x}^{2}ydy-{y}^{2}xdx={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}(\dfrac {\cos^2 t}{2}+\dfrac {\sin^2 t}{2})dt$。
步骤 5：计算积分
计算上述积分，得到
${\int }_{c}{x}^{2}ydy-{y}^{2}xdx=\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}dt$。