设f(x)是连续函数,且 (x)=(x)^2+2(int )_(0)^2f(t)dt 则 f(x)=设f(x)是连续函数,且 (x)=(x)^2+2(int )_(0)^2f(t)dt 则 f(x)=

考查要点：本题主要考查积分方程的求解，需要学生理解定积分的结果为常数，并能通过设未知数建立方程求解。

解题核心思路：

1. 识别积分结果为常数：题目中$\int_{0}^{2}f(t)dt$是定积分，结果为常数，设为$A$。
2. 将方程转化为关于$A$的表达式：原式变为$f(x)=x^2+2A$，再代入积分表达式建立方程。
3. 解方程求$A$：通过积分方程解出$A$，最终得到$f(x)$的具体形式。

破题关键：

• 正确设未知数：将定积分结果设为常数$A$，简化方程。
• 积分运算的准确性：注意积分区间的长度和代数运算的符号。

步骤1：设定积分结果为常数
设$\int_{0}^{2}f(t)dt = A$，则原式变为：
$f(x) = x^2 + 2A.$

步骤2：代入积分表达式建立方程
根据定义，$A = \int_{0}^{2}f(t)dt = \int_{0}^{2}(t^2 + 2A)dt$。
将积分拆分为两部分计算：
$\begin{aligned}A &= \int_{0}^{2}t^2 dt + \int_{0}^{2}2A dt \\&= \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 + 2A \cdot (2-0) \\&= \frac{8}{3} + 4A.\end{aligned}$

步骤3：解方程求$A$
整理方程$A = \frac{8}{3} + 4A$，移项得：
$A - 4A = \frac{8}{3} \implies -3A = \frac{8}{3} \implies A = -\frac{8}{9}.$

步骤4：确定$f(x)$的表达式
将$A = -\frac{8}{9}$代入$f(x) = x^2 + 2A$，得：
$f(x) = x^2 + 2 \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) = x^2 - \frac{16}{9}.$