11.设 =f(2x-y)+g(x,xy), 其中f具有二阶导数,g具有二阶连续的偏导数,求 dfrac ({partial )^2z}(partial xpartial y).

步骤 1：计算 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$
根据链式法则，我们有：
$$\dfrac {\partial z}{\partial x} = \dfrac {\partial f(2x-y)}{\partial x} + \dfrac {\partial g(x,xy)}{\partial x}$$
$$= 2f'(2x-y) + g_1'(x,xy) + y g_2'(x,xy)$$
其中，$g_1'$ 和 $g_2'$ 分别表示 $g$ 对第一个和第二个变量的偏导数。

步骤 2：计算 $\dfrac {\partial z}{\partial y}$
同样地，我们有：
$$\dfrac {\partial z}{\partial y} = \dfrac {\partial f(2x-y)}{\partial y} + \dfrac {\partial g(x,xy)}{\partial y}$$
$$= -f'(2x-y) + x g_2'(x,xy)$$

步骤 3：计算 $\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$
现在，我们对 $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 关于 $x$ 求偏导数：
$$\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y} = \dfrac {\partial}{\partial x} \left( -f'(2x-y) + x g_2'(x,xy) \right)$$
$$= -2f''(2x-y) + g_2'(x,xy) + x \dfrac {\partial}{\partial x} g_2'(x,xy)$$
$$= -2f''(2x-y) + g_2'(x,xy) + x \left( g_{12}''(x,xy) + y g_{22}''(x,xy) \right)$$
$$= -2f''(2x-y) + g_2'(x,xy) + x g_{12}''(x,xy) + xy g_{22}''(x,xy)$$
其中，$g_{12}''$ 和 $g_{22}''$ 分别表示 $g$ 对第一个和第二个变量的二阶偏导数。