题目
1-8 已知质点的运动方程为 =2ti+(2-(t)^2)j, 式中r的单位为m,t的单位为s.求:-|||-(1)质点的轨迹;(2) t=0 及 t=2s 时质点的位矢;(3)由 t=0 到 t=2s 时质点的位移 Delta r 和-|||-径向增量 △r; (4)2s内质点所经过的路程s.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定质点的轨迹
质点的运动方程为 $r=2ti+(2-{t}^{2})j$，其中 $r$ 表示位矢，$t$ 表示时间。将位矢分解为 $x$ 和 $y$ 分量，得到 $x=2t$ 和 $y=2-{t}^{2}$。消去 $t$，得到轨迹方程 $y=2-\frac{{x}^{2}}{4}$，这是一个开口向下的抛物线。
步骤 2：计算 t=0 和 t=2s 时质点的位矢
当 $t=0$ 时，$r=2\cdot0i+(2-{0}^{2})j=2j$。
当 $t=2$ 时，$r=2\cdot2i+(2-{2}^{2})j=4i-2j$。
步骤 3：计算由 t=0 到 t=2s 时质点的位移 $\Delta r$ 和径向增量 $\Delta r$
位移 $\Delta r$ 为 $r(t=2)-r(t=0)=(4i-2j)-(2j)=4i-4j$。
径向增量 $\Delta r$ 为 $\sqrt{{(4)}^{2}+{(-4)}^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
步骤 4：计算2s内质点所经过的路程s
质点的运动方程为 $r=2ti+(2-{t}^{2})j$，速度 $v=\frac{dr}{dt}=2i-2tj$。路程 $s$ 为速度的积分，即 $s=\int_{0}^{2} |v| dt=\int_{0}^{2} \sqrt{{(2)}^{2}+{(-2t)}^{2}} dt=\int_{0}^{2} \sqrt{4+4{t}^{2}} dt$。计算积分得到 $s=\frac{1}{2}[(2t)\sqrt{1+{t}^{2}}+\ln(t+\sqrt{1+{t}^{2}})]_{0}^{2}=\frac{1}{2}[4\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})]$。
质点的运动方程为 $r=2ti+(2-{t}^{2})j$，其中 $r$ 表示位矢，$t$ 表示时间。将位矢分解为 $x$ 和 $y$ 分量，得到 $x=2t$ 和 $y=2-{t}^{2}$。消去 $t$，得到轨迹方程 $y=2-\frac{{x}^{2}}{4}$，这是一个开口向下的抛物线。
步骤 2：计算 t=0 和 t=2s 时质点的位矢
当 $t=0$ 时，$r=2\cdot0i+(2-{0}^{2})j=2j$。
当 $t=2$ 时，$r=2\cdot2i+(2-{2}^{2})j=4i-2j$。
步骤 3：计算由 t=0 到 t=2s 时质点的位移 $\Delta r$ 和径向增量 $\Delta r$
位移 $\Delta r$ 为 $r(t=2)-r(t=0)=(4i-2j)-(2j)=4i-4j$。
径向增量 $\Delta r$ 为 $\sqrt{{(4)}^{2}+{(-4)}^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
步骤 4：计算2s内质点所经过的路程s
质点的运动方程为 $r=2ti+(2-{t}^{2})j$，速度 $v=\frac{dr}{dt}=2i-2tj$。路程 $s$ 为速度的积分，即 $s=\int_{0}^{2} |v| dt=\int_{0}^{2} \sqrt{{(2)}^{2}+{(-2t)}^{2}} dt=\int_{0}^{2} \sqrt{4+4{t}^{2}} dt$。计算积分得到 $s=\frac{1}{2}[(2t)\sqrt{1+{t}^{2}}+\ln(t+\sqrt{1+{t}^{2}})]_{0}^{2}=\frac{1}{2}[4\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})]$。