题目

设三元线性方程组 Ax=b ， A 的秩为 2 ， η1 ， η2 ， η3 为方程组的解， η1+η2=(2,0,4)T ， η1+η3=(1,−2,1)T ，则对任意常数 k ，方程组 Ax=b 的通解为 () A. (1,0,2)T+k(1,−2,1)T B. (1,−2,1)T+k(2,0,4)T C. (2,0,4)T+k(1,−2,1)T D. (1,0,2)T+k(1,2,3)T

设三元线性方程组 Ax=b ， A 的秩为 2 ， η1 ， η2 ， η3 为方程组的解， η1+η2=(2,0,4)T ， η1+η3=(1,−2,1)T ，则对任意常数 k ，方程组 Ax=b 的通解为 ()


A. (1,0,2)T+k(1,−2,1)T
B. (1,−2,1)T+k(2,0,4)T
C. (2,0,4)T+k(1,−2,1)T
D. (1,0,2)T+k(1,2,3)T

题目解答

答案

∵A 的秩为 2 ，而 Ax=b 是三元线性方程组

∴AX=0 的基础解系只有一个解向量

又 η1,η2,η3 为方程组的解 , 且 η1+η2=(2,0,4)T,η1+η3=(1,−2,1)T ，

∴η2−η3=(η1+η2)−(η1+η3)=(1,2,3)T 是 AX=0 的解向量，从而是 AX=0 的一个基础解系。

而 12A(η1+η2)=b, 即 12(η1+η2) 是 Ax=b 的解向量，

即 (1,0,2)T 是 Ax=b 的解向量

∴ 方程组 Ax=b 的通解可表示为 (1,0,2)T+k(1,2,3)T

故选：D.

解析

步骤 1：确定基础解系
由于 A 的秩为 2，而方程组是三元的，所以齐次方程组 AX=0 的基础解系只有一个解向量。
步骤 2：求 AX=0 的基础解系
已知 η1, η2, η3 是方程组 Ax=b 的解，且 η1+η2=(2,0,4)T, η1+η3=(1,−2,1)T。因此，η2−η3=(η1+η2)−(η1+η3)=(1,2,3)T 是 AX=0 的解向量，从而是 AX=0 的一个基础解系。
步骤 3：求 Ax=b 的特解
由于 12A(η1+η2)=b，即 12(η1+η2) 是 Ax=b 的解向量，即 (1,0,2)T 是 Ax=b 的解向量。
步骤 4：写出通解
根据齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解，方程组 Ax=b 的通解可表示为 (1,0,2)T+k(1,2,3)T。