464 已知二维随机变量 (X,Y)sim N((m)_(1),(mu )_(2);({sigma )_(1)}^2,({sigma )_(2)}^2,P)((sigma )_(1)gt 0,(sigma )_(2)gt 0) 则二维随机变量-|||-(dfrac (X-{mu )_(1)}({sigma )_(1)},Y)sim __

考查要点：本题主要考查二维正态分布的性质，特别是标准化处理后的变量联合分布的参数变化。

解题核心思路：

1. 标准化处理：对二维正态分布中的一个变量进行标准化（即$(X-\mu_1)/\sigma_1$），其均值变为0，方差变为1。
2. 联合分布性质：标准化后的变量与原变量$Y$仍服从二维正态分布，需重新计算均值、方差及相关系数。

破题关键点：

• 均值与方差：标准化后的变量均值为0，方差为1；$Y$的均值和方差保持不变。
• 相关系数：标准化操作不改变变量间相关性，相关系数与原分布相同。

已知二维随机变量$(X,Y)\sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$，需确定$(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}, Y)$的分布。

步骤1：确定均值

• $\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$的均值为$E\left(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\right) = \frac{E(X)-\mu_1}{\sigma_1} = 0$。
• $Y$的均值仍为$\mu_2$。

步骤2：确定方差

• $\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$的方差为$D\left(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\right) = \frac{D(X)}{\sigma_1^2} = 1$。
• $Y$的方差仍为$\sigma_2^2$。

步骤3：确定相关系数

• 原变量$X$与$Y$的相关系数为$\rho$，协方差为$\rho\sigma_1\sigma_2$。
• 标准化后变量$\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$与$Y$的协方差为：
  $\text{Cov}\left(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}, Y\right) = \frac{1}{\sigma_1}\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{\sigma_1}(\rho\sigma_1\sigma_2) = \rho\sigma_2.$
• 相关系数为：
  $\rho' = \frac{\text{Cov}\left(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}, Y\right)}{\sqrt{D\left(\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}\right) \cdot D(Y)}} = \frac{\rho\sigma_2}{\sqrt{1 \cdot \sigma_2^2}} = \rho.$

结论：标准化后的二维随机变量服从$N\left(0, \mu_2; 1, \sigma_2^2; \rho\right)$。