5,直线 :dfrac (x-1)(0)=dfrac (y-1)(1)=dfrac (z-1)(1) 绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 __ .

考查要点：本题主要考查旋转曲面的方程求解，涉及空间几何中直线绕坐标轴旋转的性质。

解题核心思路：

1. 确定直线参数方程：将直线方程转换为参数形式，明确直线上任意点的坐标表达式。
2. 分析旋转特性：绕z轴旋转时，直线上每一点生成的圆的半径等于该点到z轴的距离。
3. 建立方程关系：利用旋转前后点的几何关系，联立消去参数，得到曲面方程。

破题关键点：

• 直线参数方程的正确推导：注意分母为0时对应变量的固定值。
• 旋转圆半径的几何意义：旋转后点的坐标满足到z轴的距离等于原直线点的到z轴距离。

步骤1：确定直线L的参数方程

原直线方程为 $\dfrac{x-1}{0} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{1}$。

• 分母为0的项：$\dfrac{x-1}{0}$ 仅在分子为0时有意义，故 $x=1$。
• 参数化：设公共比值为$t$，则：
  $\begin{cases} y-1 = t \\ z-1 = t \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \end{cases}$
  直线L的参数方程为 $(1, 1+t, 1+t)$，其中$t \in \mathbb{R}$。

步骤2：分析旋转曲面的几何关系

• 旋转特性：直线L绕z轴旋转时，直线上任意点$M_0(1, 1+t, 1+t)$生成的圆的圆心为$T(0,0,1+t)$，圆半径为$M_0$到z轴的距离：
  $r = \sqrt{1^2 + (1+t)^2}$
• 旋转后点的坐标：旋转曲面上任意点$M(x,y,z)$满足：
  $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (1+t)^2}$
  且$z = 1 + t$（旋转后z坐标不变）。

步骤3：消去参数$t$，得到曲面方程

• 用$z$表示$t$：由$z = 1 + t$得 $t = z - 1$。
• 代入半径表达式：
  $x^2 + y^2 = 1^2 + (1 + (z - 1))^2 = 1 + z^2$
  整理得：
  $x^2 + y^2 - z^2 = 1$