题目
D是由圆周^2+(y)^2=1及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域，则^2+(y)^2=1^2+(y)^2=1^2+(y)^2=1^2+(y)^2=1^2+(y)^2=1
D是由圆周
及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域，则
题目解答
答案
对于积分区域D是由圆周及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域，积分区域可以转换为极坐标区域
。
积分可以转换为：
则
令
，即选C。
解析
步骤 1：转换积分区域
将积分区域D转换为极坐标区域$\{ (r,\theta )|0\lt r\leqslant 1,0\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2}\} $，其中$r$是极径，$\theta$是极角。
步骤 2：转换积分表达式
将积分表达式转换为极坐标形式，即${\iint }_{D}\sqrt {\dfrac {1-{x}^{2}-{y}^{2}}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}}dx={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{1}\dfrac {\sqrt {1-{r}^{2}}}{\sqrt {1+{r}^{2}}}rdr$。
步骤 3：计算积分
计算积分${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{1}\dfrac {\sqrt {1-{r}^{2}}}{\sqrt {1+{r}^{2}}}rdr$，得到$\dfrac {\pi }{4}{\int }_{0}^{1}\dfrac {\sqrt {1-{r}^{2}}}{\sqrt {1+{r}^{2}}}rdr$。
步骤 4：变量替换
令$t=r^2$，则$dt=2rdr$，积分变为$\dfrac {\pi }{8}{\int }_{0}^{1}\sqrt {\dfrac {1-t}{1+t}}dt$。
步骤 5：计算积分
计算积分$\dfrac {\pi }{8}{\int }_{0}^{1}\sqrt {\dfrac {1-t}{1+t}}dt$，得到$\dfrac {\pi }{8}(\pi -2)$。
将积分区域D转换为极坐标区域$\{ (r,\theta )|0\lt r\leqslant 1,0\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2}\} $，其中$r$是极径，$\theta$是极角。
步骤 2：转换积分表达式
将积分表达式转换为极坐标形式，即${\iint }_{D}\sqrt {\dfrac {1-{x}^{2}-{y}^{2}}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}}dx={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{1}\dfrac {\sqrt {1-{r}^{2}}}{\sqrt {1+{r}^{2}}}rdr$。
步骤 3：计算积分
计算积分${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{1}\dfrac {\sqrt {1-{r}^{2}}}{\sqrt {1+{r}^{2}}}rdr$，得到$\dfrac {\pi }{4}{\int }_{0}^{1}\dfrac {\sqrt {1-{r}^{2}}}{\sqrt {1+{r}^{2}}}rdr$。
步骤 4：变量替换
令$t=r^2$，则$dt=2rdr$，积分变为$\dfrac {\pi }{8}{\int }_{0}^{1}\sqrt {\dfrac {1-t}{1+t}}dt$。
步骤 5：计算积分
计算积分$\dfrac {\pi }{8}{\int }_{0}^{1}\sqrt {\dfrac {1-t}{1+t}}dt$，得到$\dfrac {\pi }{8}(\pi -2)$。