题目
求极限underset(lim)(x→0)cotx（(1)/(sinx)-(1)/(x)）
求极限$\underset{lim}{x→0}$cotx（$\frac{1}{sinx}$-$\frac{1}{x}$）
题目解答
答案
解：$\underset{lim}{x→0}$cotx（$\frac{1}{sinx}$-$\frac{1}{x}$）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx}{sinx}$（$\frac{x-sinx}{xsinx}$）
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx（x-sinx）}{xsi{n}^{2}x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx[x-（x-\frac{1}{3!}{x}^{3}+o（{x}^{3}））]}{{x}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\underset{lim}{x→0}$cotx（$\frac{1}{sinx}$-$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{6}$．
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx（x-sinx）}{xsi{n}^{2}x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx[x-（x-\frac{1}{3!}{x}^{3}+o（{x}^{3}））]}{{x}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\underset{lim}{x→0}$cotx（$\frac{1}{sinx}$-$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{6}$．
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及无穷小量的比较、泰勒展开的应用以及分式化简的能力。
解题核心思路：
- 将原式中的
cotx转化为cosx/sinx，并整理分式结构； - 泰勒展开
sinx到足够高的阶数，简化分子中的x - sinx； - 利用等价无穷小替换简化分母中的
sin²x，最终约分求极限。
破题关键点：
- 泰勒展开是核心工具，需展开到
x³项以消除低阶项的影响； - 注意分子和分母的阶数匹配，确保展开后的主部正确保留。
原式变形：
原式可改写为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{\sin x} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x (\frac{x - \sin x}{x \sin x})}{1}$
泰勒展开：
将sinx展开到x³项：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
因此：
$x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
分母近似：
当x → 0时，sinx ≈ x，故：
$\sin^2 x ≈ x^2$
代入化简：
将分子和分母代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot \frac{x^3}{6}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$