10.[判断题]0201 如果f'(z)在区域D内处处为零，则f(z)在D内是常数.A 对B 错

考查要点：本题主要考查复变函数中导数为零时函数性质的判断，涉及柯西-黎曼方程和解析函数的性质。

解题核心思路：
若复函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可导且导数为零，则其实部 $u(x,y)$ 和虚部 $v(x,y)$ 的一阶偏导数均为零。结合柯西-黎曼方程，可进一步推出 $u$ 和 $v$ 均为常数，从而 $f(z)$ 在 $D$ 内为常数。

关键点：

1. 导数为零 $\Rightarrow$ 实部、虚部偏导数为零。
2. 柯西-黎曼方程的联立作用。
3. 偏导数恒为零 $\Rightarrow$ 函数为常数（微分中值定理的应用）。

步骤1：分析导数为零的条件
若 $f'(z) = 0$ 在区域 $D$ 内处处成立，则复导数的表达式为：
$f'(z) = u_x + iv_x = 0 \quad \text{（$u$ 为实部，$v$ 为虚部）}$
由此可得：
$u_x = 0, \quad v_x = 0.$

步骤2：应用柯西-黎曼方程
根据柯西-黎曼方程：
$u_x = v_y, \quad u_y = -v_x.$
将 $u_x = 0$ 和 $v_x = 0$ 代入，得：
$v_y = 0, \quad u_y = 0.$

步骤3：推导实部和虚部的性质
此时，$u$ 和 $v$ 的所有一阶偏导数均为零：
$u_x = u_y = 0, \quad v_x = v_y = 0.$
根据多元函数微分学，若所有一阶偏导数恒为零，则 $u$ 和 $v$ 在区域 $D$ 内均为常数。

结论：
$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 的实部和虚部均为常数，因此 $f(z)$ 在 $D$ 内为常数。