题目

【题目】以点(1,2,3)为球心,半径为1的球面方程是___x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+13=0 B.x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-1=0C. x^2+y^2+z^2+2x+4y+6z+13=0D. x^2+y^2+z^2+2x+4y+6z-1=0

【题目】以点(1,2,3)为球心,半径为1的球面方程是___x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+13=0 B.x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-1=0C. x^2+y^2+z^2+2x+4y+6z+13=0D. x^2+y^2+z^2+2x+4y+6z-1=0

题目解答

答案

【解析】答案A解析在空间直角坐标下,球面方程为(-1)-a)^2+(y_1-b)^2+[z-()^2]=R^2 已知球心为(1.2、3)可知a=1,b=2、c=3半径R=1放将球3)及半径R=1代入方程中得1C⋅(1,2, (力-1)^2+(y-2)^2+1z-3)^2=1^2 力2力+1+y4y+4+z^2-6z+9=1 一、按完全平方公理整理得m^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+13=0故答案选A☆☆

解析

考查要点：本题主要考查空间直角坐标系中球面方程的标准形式及其展开化简过程。

解题核心思路：

  1. 回忆球面方程的标准形式：以点$(a,b,c)$为球心，半径为$R$的球面方程为$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$。
  2. 代入已知条件：将题目中给出的球心坐标$(1,2,3)$和半径$1$代入标准方程。
  3. 展开并整理方程：通过展开平方项并合并同类项，最终得到与选项匹配的形式。

破题关键点：

  • 正确展开平方项，注意符号和系数。
  • 准确计算常数项，避免合并错误。

  1. 写出球面方程的标准形式
    已知球心为$(1,2,3)$，半径$R=1$，代入标准方程：
    $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 1^2.$

  2. 展开平方项

    • $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
    • $(y-2)^2 = y^2 - 4y + 4$
    • $(z-3)^2 = z^2 - 6z + 9$

  3. 合并所有项
    将展开后的项相加并整理：
    $\begin{aligned} x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 &= 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + (1+4+9) &= 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 14 &= 1. \end{aligned}$

  4. 移项化简
    两边减$1$，得到最终方程：
    $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 13 = 0.$

  5. 匹配选项
    对比选项，A选项与上述结果完全一致。