题目

设函数 f(x) = lim_(n to infty) (1 + x)/(1 + x^2n)，讨论函数 f(x) 的间断点，其结论为（ ）(A) 不存在间断点.(B) 存在间断点 x = 1.(C) 存在间断点 x = 0.(D) 存在间断点 x = -1.

设函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}}$，讨论函数 $f(x)$ 的间断点，其结论为（ ） (A) 不存在间断点. (B) 存在间断点 $x = 1$. (C) 存在间断点 $x = 0$. (D) 存在间断点 $x = -1$.

题目解答

答案

我们来分析函数
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}}$
的间断点问题。

第一步：分析极限表达式

我们先考虑极限：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}}$

这个极限的值取决于 $ x $ 的大小，因为 $ x^{2n} $ 在 $ n \to \infty $ 时的行为会根据 $ |x| $ 的不同而不同。

第二步：分情况讨论 $ x $ 的取值

情况 1：$ |x| < 1 $

此时 $ x^{2n} \to 0 $，因为指数增长下，绝对值小于 1 的数的幂趋于 0。

所以：
$f(x) = \frac{1 + x}{1 + 0} = 1 + x$

情况 2：$ |x| > 1 $

此时 $ x^{2n} \to \infty $，因为绝对值大于 1 的数的幂会趋于无穷。

所以：
$f(x) = \frac{1 + x}{1 + \infty} = 0$

情况 3：$ |x| = 1 $

  • 若 $ x = 1 $，则 $ x^{2n} = 1 $，所以：
    $f(1) = \frac{1 + 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$

  • 若 $ x = -1 $，则 $ x^{2n} = 1 $，所以：
    $f(-1) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

第三步：写出函数 $ f(x) $ 的表达式

综合以上分析，函数 $ f(x) $ 的表达式为：

$f(x) = \begin{cases}1 + x, & |x| < 1 \\1, & x = 1 \\0, & x = -1 \\0, & |x| > 1\end{cases}$

第四步：讨论间断点

我们来逐个分析可能的间断点。

在 $ x = 1 $ 处：

  • 左极限：$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + x = 2 $
  • 右极限：$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 $
  • 函数值：$ f(1) = 1 $

左右极限不相等，说明在 $ x = 1 $ 处不连续。

在 $ x = -1 $ 处：

  • 左极限：$ \lim_{x \to -1^-} f(x) = 0 $
  • 右极限：$ \lim_{x \to -1^+} f(x) = 1 + x = 0 $
  • 函数值：$ f(-1) = 0 $

左右极限相等，且等于函数值，所以在 $ x = -1 $ 处连续。

在 $ x = 0 $ 处：

  • 左右极限都等于 $ f(0) = 1 + 0 = 1 $，所以连续。

最终结论：

唯一存在间断点的是 $ x = 1 $，所以正确答案是：

$\boxed{\text{(B) 存在间断点 } x = 1}$

解析

本题考查函数间断点的判断，解题思路是先根据极限的性质求出函数$f(x)$的表达式，再分别讨论函数在可能间断点处的连续性。

  1. 分析极限表达式并分情况讨论$x$的取值：
    • 对于函数$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}}$，极限的值取决于$x$的大小，因为$x^{2n}$在$n \to \infty$时的行为会根据$\vert x\vert$的不同而不同。
    • 情况 1：$\vert x\vert \lt 1$
      当$\vert x\vert \lt 1$时，$x^{2n} \to 0$（因为指数增长下，绝对值小于$1$的数的幂趋于$0$）。
      根据极限运算法则可得：
      $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}}=\frac{1 + x}{1 + 0} = 1 + x$
    • 情况 2：$\vert x\vert \gt 1$
      当$\vert x\vert \gt 1$时，$x^{2n} \to \infty$（因为绝对值大于$1$的数的幂会趋于无穷）。
      此时$\frac{1 + x}{1 + x^{2n}}$的分母趋于无穷大，分子为常数，所以：
      $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2n}} = 0$
    • 情况 3：$\vert x\vert = 1$
      若$x = 1$，则$x^{2n} = 1$，所以：
      $f(1) = \frac{1 + 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$
      若$x = -1$，则$x^{2n} = 1$，所以：
      $f(-1) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$
  2. 写出函数$f(x)$的表达式：
    综合以上分析，函数$f(x)$的表达式为：
    $f(x) = \begin{cases}1 + x, & \vert x\vert \lt 1 \\1, & x = 1 \\0, & x = -1 \\0, & \vert x\vert \gt 1\end{cases}$
  3. 讨论间断点：
    • 在$x = 1$处：
      左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 + x) = 1 + 1 = 2$
      右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$
      函数值：$f(1) = 1$
      因为左右极限不相等，即$\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$，所以在$x = 1$处不连续。
    • 在$x = -1$处：
      左极限：$\lim_{x \to -1^-} f(x) = 0$
      右极限：$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (1 + x) = 1 + (-1) = 0$
      函数值：$f(-1) = 0$
      因为左右极限相等且等于函数值，即$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1)$，所以在$x = -1$处连续。
    • 在$x = 0$处：
      左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 + x) = 1 + 0 = 1$
      右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1 + x) = 1 + 0 = 1$
      函数值：$f(0) = 1 + 0 = 1$
      因为左右极限相等且等于函数值，即$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$，所以在$x = 0$处连续。