题目
下列说法错误的是A. f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z_0=x_0+iy_0可导,则u(x,y),v(x,y)均在(x_0,y_0)连续；B. f(z)在z_0可导,则f(z)在z_0不一定解析；C. f(z)在区域D内可导，则f(z)在区域D内解析；D. f(z)在点z_0不可导，则z_0是f(z)的奇点。
下列说法错误的是
A. f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在$z_0=x_0+iy_0$可导,则$u(x,y)$,$v(x,y)$均在$(x_0,y_0)$连续；
B. f(z)在$z_0$可导,则f(z)在$z_0$不一定解析；
C. f(z)在区域$D$内可导，则f(z)在区域$D$内解析；
D. f(z)在点$z_0$不可导，则$z_0$是f(z)的奇点。
题目解答
答案
D. f(z)在点$z_0$不可导，则$z_0$是f(z)的奇点。
解析
步骤 1：分析选项A
复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$z_0=x_0+iy_0$可导，意味着$u(x,y)$和$v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处满足柯西-黎曼方程，且$u(x,y)$和$v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可微，因此$u(x,y)$和$v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处连续。所以选项A正确。
步骤 2：分析选项B
复变函数$f(z)$在$z_0$可导，意味着$f(z)$在$z_0$处满足柯西-黎曼方程，但$f(z)$在$z_0$处不一定在$z_0$的某个邻域内处处可导，因此$f(z)$在$z_0$处不一定解析。所以选项B正确。
步骤 3：分析选项C
复变函数$f(z)$在区域$D$内可导，意味着$f(z)$在$D$内处处可导，因此$f(z)$在$D$内解析。所以选项C正确。
步骤 4：分析选项D
复变函数$f(z)$在点$z_0$不可导，意味着$f(z)$在$z_0$处不满足柯西-黎曼方程，但$f(z)$在$z_0$处不一定有奇点。所以选项D错误。
复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在$z_0=x_0+iy_0$可导，意味着$u(x,y)$和$v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处满足柯西-黎曼方程，且$u(x,y)$和$v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可微，因此$u(x,y)$和$v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处连续。所以选项A正确。
步骤 2：分析选项B
复变函数$f(z)$在$z_0$可导，意味着$f(z)$在$z_0$处满足柯西-黎曼方程，但$f(z)$在$z_0$处不一定在$z_0$的某个邻域内处处可导，因此$f(z)$在$z_0$处不一定解析。所以选项B正确。
步骤 3：分析选项C
复变函数$f(z)$在区域$D$内可导，意味着$f(z)$在$D$内处处可导，因此$f(z)$在$D$内解析。所以选项C正确。
步骤 4：分析选项D
复变函数$f(z)$在点$z_0$不可导，意味着$f(z)$在$z_0$处不满足柯西-黎曼方程，但$f(z)$在$z_0$处不一定有奇点。所以选项D错误。